AREA E PERIMETRO ROMBO

La famiglia di problemi che vi propongo in questo articolo, diviso in tre parti, ha a che fare con un concetto importante di geometria piana: l’area è una misura additiva. Anche il perimetro è una misura additiva, ma si comporta in modo diverso da quello dell’area. Per esempio, se uniamo due quadrati lungo un lato, le loro aree si sommano mentre il perimetro della loro unione NON è uguale alla somma dei loro perimetri.
I problemi proposti possono aiutare a comprendere meglio questo aspetto e a non commettere errori banali quando si usa l’additività delle misure.
Approfondiremo l’argomento nella seconda parte, vediamo prima gli esercizi.

1) Perimetro costante
Una griglia 3×3 di quadrati di lato 1 ha area A = 9 e perimetro p = 12.

Si può togliere un quadrato in modo da ottenere una figura di area 8 e perimetro ancora uguale a 12.
Si può togliere un altro quadrato in modo che l’area sia 7 e il perimetro sempre 12.

Quanti e quali quadrati si possono togliere al massimo per ottenere una figura che abbia il perimetro uguale a 12 e area minima?
—
Precisazione. I quadrati che formano le figure devono avere almeno un lato in comune. Per esempio, la figura qui sotto non è una soluzione accettabile.

2) Perimetro massimo
20 esagoni di lato unitario formano una griglia esagonale di perimetro 30.
Si possono togliere, per esempio, due esagoni in modo da ottenere una figura di perimetro 34.

Quanti e quali esagoni si devono togliere affinché il perimetro della figura ottenuta sia il più grande possibile?

3) Togli triangoli
Questa griglia di 25 triangoli equilateri di lato unitario ha il perimetro uguale a 15.
Si può togliere un triangolo in modo da far aumentare il perimetro.
Continua a togliere triangoli, uno alla volta in modo da far aumentare il perimetro della figura.

Quanti e quali triangoli puoi togliere al massimo con questo criterio e quanto misura il perimetro della figura ottenuta?
—
Precisazione. Le figure ottenute devono essere poligoni semplici, cioè niente buchi né intrecci.
Per esempio, le figure qui sotto non sono accettabili

Illustrazioni: Gianfranco Bo – Foto cover: Vector Art Space / Shutterstock

La settimana scorsa vi ho proposto la seconda parte di un articolo in cui tratto una famiglia di problemi che ha a che fare con un concetto importante di geometria piana: l’area è una misura additiva. Anche il perimetro è una misura additiva, ma si comporta in modo diverso da quello dell’area. Per esempio, se uniamo due quadrati lungo un lato, le loro aree si sommano mentre il perimetro della loro unione NON è uguale alla somma dei loro perimetri.
I problemi proposti possono aiutare a comprendere meglio questo aspetto e a non commettere errori banali quando si usa l’additività delle misure.
Dopo aver visto gli esercizi nella prima parte e approfondito il tema con alcune riflessioni nella seconda parte, qui riporto alcune soluzioni, ma potrebbero esisterne altre.

1) Perimetro costante
Una griglia 3×3 di quadrati di lato 1 ha area A = 9 e perimetro p = 12.

Si può togliere un quadrato in modo da ottenere una figura di area 8 e perimetro ancora uguale a 12.
Si può togliere un altro quadrato in modo che l’area sia 7 e il perimetro sempre 12.

Quanti e quali quadrati si possono togliere al massimo per ottenere una figura che abbia il perimetro uguale a 12 e area minima?
—
Questa la soluzione che riporto:

2) Perimetro massimo
20 esagoni di lato unitario formano una griglia esagonale di perimetro 30.
Si possono togliere, per esempio, due esagoni in modo da ottenere una figura di perimetro 34.

Quanti e quali esagoni si devono togliere affinché il perimetro della figura ottenuta sia il più grande possibile?
—
Questa la soluzione che riporto:

3) Togli triangoli
Questa griglia di 25 triangoli equilateri di lato unitario ha il perimetro uguale a 15.
Si può togliere un triangolo in modo da far aumentare il perimetro.
Continua a togliere triangoli, uno alla volta in modo da far aumentare il perimetro della figura.

Quanti e quali triangoli puoi togliere al massimo con questo criterio e quanto misura il perimetro della figura ottenuta?
—
Questa la soluzione che riporto:

Illustrazioni: Gianfranco Bo – Foto cover: Vector Art Space / Shutterstock