Il fiore di Eulero
1. Un fiore a tre petali
Provate a disegnare questo fiore, partendo dal punto A, con un solo tratto di penna, senza mai sollevarla dal foglio e senza ripassare su una linea già tracciata.
Domande
- OK, ma come si fa per calcolare tutte le possibilità?
- In quanti modi diversi si può rispondere alla domanda 1?
Ci sono esattamente 384 modi diversi per farlo.
Dipende dall’ordine in cui tracciate le foglie e i petali e se scegliete il senso orario o quello antiorario.
Immaginate il disegno del fiore come un grafo.
Grafo. Un grafo è una rappresentazione matematica formata da vertici (punti) e archi (linee) che collegano i vertici.
Nel nostro fiore, i vertici sono i punti di snodo delle foglie e dei petali, mentre gli archi sono i tratti che uniscono questi punti.
Disegnare il fiore con un solo tratto di penna, senza sollevarla e senza ripassare significa percorrere il grafo seguendo gli archi una sola volta.
Il percorso parte da A ma non ritorna ad A, perciò è un cammino euleriano.
Cammino euleriano. Un cammino euleriano è un percorso in un grafo che attraversa tutti gli archi passando su ciascun arco esattamente una volta.
2. Cammino versus ciclo euleriano
Provate a disegnare la figura 1, partendo dal punto A, con un solo tratto di penna, senza mai sollevarla dal foglio e senza ripassare su una linea già tracciata.
Stesso esercizio per la figura 2, partendo dal punto B e ritornando a B.
Domanda
1. In quanti modi diversi si può tracciare ciascuno dei due disegni?
Pensierino
Una risposta possibile per la figura 2 potrebbe essere:
(2)⋅((4⋅2)⋅(3⋅2)⋅(2⋅2)⋅(1⋅2))3 = 113.246.208
Se ne disegniamo 2 al minuto, ci mettiamo circa un secolo. Ma avremo solo sprecato carta, inchiostro e tempo perché i disegni sono tutti uguali!
Le soluzioni le scopriremo nell’anno nuovo.
PS: abbiamo pubblicato anche la soluzione!
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Pace e bene a tutti.
GfBo
Foto cover: Prokuronov Andrey / Shutterstock
Ilustrazioni: Gianfranco Bo
L’articolo è pubblicato anche su BASE Cinque.
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