Proprietà del triangolo equilatero: risolto?

Nel post precedente avevamo preso in considerazione una proprietà semplice ma sorprendente del triangolo equilatero: il raggio della circonferenza circoscritta è il doppio del raggio della circonferenza inscritta. Ci eravamo posti delle domande e qui pubblichiamo le risposte.

Domanda 1.

Provate a dimostrarlo mentalmente, basandovi sulla figura qui sotto

  1. Il centro della circonferenza inscritta è il punto d’incontro delle bisettrici.
  2. Il centro della circonferenza circoscritta è il punto d’incontro degli assi.
  3. In un triangolo equilatero ogni bisettrice è anche asse e mediana.
  4. Quindi la circonferenza inscritta e quella circoscritta hanno lo stesso centro.
  5. In particolare, il centro è anche punto d’intersezione delle mediane.
  6. Le mediane di un triangolo si tagliano in parti proporzionali a 1 e 2.
  7. Quindi, in un triangolo equilatero, la distanza del centro da un vertice (OA) è il doppio della distanza del centro da un lato (OH).
    OH : OA = 1 : 2
  8. OH = raggio della circonferenza inscritta = apotema del triangolo
    OA = raggio della circonferenza circoscritta = raggio del triangolo
    OA = 2OH

Domanda 2.

Prendete come unità il raggio della circonferenza inscritta e calcolate le seguenti misure.

 

Triangolo equilatero

circoscritto a una circonferenza di raggio 2

apotema 1
raggio 2
altezza 3
lato 2√3
area cerchio inscritto π
area cerchio circoscritto
area del triangolo 3√3

In generale: l’area del cerchio circoscritto a un triangolo equilatero è il quadruplo dell’area del cerchio inscritto.

Domanda 3.

Dimostrate che la parte colorata di verde è equivalente alla parte colorata di giallo (cioè ha la stessa area).

giallo = verde

Usiamo il fatto che l’area del cerchio grande è il quadruplo dell’area de cerchio piccolo, giallo.

  • Indichiamo: area cerchio giallo = c.
  • L’area del cerchio grande è 4c.
  • Indichiamo con T l’area del triangolo.
  • Area punta verde = (T – c)/3.
  • Area segmento circolare verde = (4c – T)/3
  • Area totale verde = (T – c + 4c – T)/3 = 3c/3 = c
  • Meravigliosamente, senza calcolare nessuna area, abbiamo:
    Area verde = c = area gialla.

Domanda 4.

Usate l’uguaglianza dimostrata nella domanda 3 per dimostrare che le aree gialla e verde messe assieme sono uguali all’area bianca.

giallo + verde = bianco

Dimostrazione con riscrittura.

Ecco per esempio una dimostrazione basata quasi esclusivamente su un sistema di riscrittura formale.

  • definizione 1: verde = (a + b)
  • definizione 2: giallo = c
  • dato: (a + b) = c

Dimostrazione.

  1. osservazione: bianco = (a + b) + (a + b)
  2. sostituzione (usando il dato): bianco = (a + b) + c
  3. sostituzione (usando la def. 1): bianco = verde + c
  4. sostituzione (usando def. 2): bianco = verde + giallo

C.V.D.

Una giustificazione.

Se vogliamo giustificare l’inserimento delle lettere abc, nella figura precedente, possiamo usare la simmetria rotazionale.

Infatti, una rotazione di 120° intorno al centro porta la punta verde e il segmento circolare verde nelle parti bianche corrispondenti.

Con 2 rotazioni di +120° e -120°, la parte verde copre tutto il bianco, come mostrato nelle figure seguenti. E come bonus possiamo dedurre che il verde è metà del bianco.

Grazie a Francesco C. per questa osservazione.

Pace e bene a tutti!

GfBo

Foto cover: taffpixture / Shutterstock

Ilustrazioni: Gianfranco Bo

L’articolo è pubblicato anche su BASE Cinque.

Continuare la lettura sul sito di origine:https://blogdimatematicaescienze.it/una-proprieta-del-triangolo-equilatero-lo-avete-risolto/

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Le classi di concorso dove i docenti hanno già la certezza di entrare in graduatoria

A002 – Molise – Domande 1 – posti banditi 1 A002 – Veneto – Domande 1 – posti banditi 1A005 – Abruzzo – Domande 1 – posti banditi 1A005 – Emilia Romagna – Domande 1 – posti banditi 1A005 – Calabria – Domande 2 – posti banditi 2

A007 – Puglia – Domande 5 – posti banditi 5A007 – Lombardia – Domande 17 – posti banditi 18A007 – Umbria – Domande 2 – posti banditi 2A016 – Friuli Venezia Giulia – Domande 1 – posti banditi 1A017 – Molise – Domande 1 – posti banditi 1

A020 – Friuli Venezia Giulia – Domande 3 – posti banditi 3A023 – Basilicata – Domande 2 – posti banditi 3A023 – Calabria – Domande 4 – posti banditi 4A023 – Campania – Domande 2 – posti banditi 6A023 – Friuli Venezia Giulia – Domande 8 – posti banditi 9A023 – Lazio – Domande 6 – posti banditi 8A023 – Liguria – Domande 2 – posti banditi 3 A023 – Marche – Domande 1 – posti banditi 1A023 – Puglia – Domande 1 – posti banditi 2

A027 Matematica e Fisica

Abruzzo – posti banditi 45 – domande 35Lazio – posti banditi 200 – domande 178Lombardia – posti 223 – domande 161Piemonte – posti 117 – domande 112Sardegna – posti 48 – domande 37Veneto – posti 145 – domande 110

A032 – Toscana – posti 1 – domande 1A033 – Sardegna – posti 1 – domande 1A036 – Piemonte – posti 1 – domande 1A040 – Piemonte – posti banditi 24 – domande 23A040 – Veneto – posti 45 – domande 45

A041 – Liguria – posti 32 – domande 19A041 – Lombardia – posti 150 – domande 150A041 – Piemonte – posti 99 – domande 54A041 – Umbria – posti 20 – domande 13A041 – Veneto – posti 116 – domande 109

A042 – Veneto – posti 59 – domande 53A043 – Liguria – posti 1 – domande 1A062 – Veneto – posti 3 – domande 2A062 – Piemonte – posti 1 – domande 1A062 – Umbria – posti 1 – domande 1

AI55 – Marche – posti 1 – domande 1AJ24 – Campania – posti 1 – domande 1B006 – Abruzzo – posti 3 – domande 3B006 – Lombardia – posti 9 – domande 7

B007 – Friuli Venezia Giulia 2 – domande 2B008 – Emilia Romagna  – posti 2 – domande 1B011 – Liguria – posti 8 – domande 7B013 – Campania – posti 1 – domande 1B017 – Veneto – posti 91 – domande 91B017 – Friuli Venezia Giulia – posti 8 – domande 7B018 – Friuli Venezia Giulia – posti 2 – domande 2B018 – Liguria – posti 1 – domande 1

B022 – Friuli Venezia Giulia – posti 15 – domande 11B022 – Lazio – posti 26 – domande 23B022 – Liguria – posti 7 – domande 7B024 – Emilia Romagna – posti 1 – domande 1B024 – Veneto – posti 1 – domande 1

Classi di concorso in bilico

Alcune classi di concorso (in alcune Regioni) sono in bilico per quanto riguarda il rapporto domande-posti banditi:

A027 – Liguria – posti 33 – domande 34A041 – Abruzzo – posti 24 – domande 25A042 – Friuli Venezia Giulia – posti 4 – domande 5A059 – Basilicata – posti 2 – domande 3A059 – Liguria – posti 1 – domande 2A059 – Sardegna – posti 1 – domande 2

AF56 – Basilicata – posti 1 – domande 2B006 – Molise – posti 3 – domande 4B006 – Piemonte – posti 1 – domande 2B011 – Molise  – posti 1 – domande 2B017 – Molise – posti 2 – domande 3B018 – Toscana – posti 9 – domande 10B018 – Sardegna – posti 5 – domande 6

B024 – Lazio – posti 1 – domande 2B027 – Toscana – posti 1 – domande 2A005 – Piemonte – posti 2 – domande 3A005 – Molise – posti 2 – domande 3A007 – Veneto – posti 5 – domande 6A016 – Emilia Romagna – posti 1 – domande 2A016 – Puglia – posti 3 – domande 4A016 – Umbria – posti 1 – domande 2

A032 – Friuli Venezia Giulia – posti 1 – domande 2A035 – Campania – posti 1 – domande 2A038 – Emilia Romagna – posti 1 – domande 2A039 – Toscana – posti 1 – domande 2A040 – Molise – posti 3 – domande 4A040 – Umbria – posti 4 – domande 5.

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