Archimede e il pi greco

Il 14 marzo si celebra in tutto il mondo il Pi Greco Day (Giorno del pi greco). Perché proprio quel giorno? La ragione va cercata nella modalità di scrittura di questa data in uso nei paesi anglosassoni: nell’indicazione del numero del mese e del giorno compaiono infatti le cifre della costante matematica.

Archimede di Siracusa, nel III secolo a.C., fu il primo studioso a stimare con rigore il valore del pi greco, il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro. Come noto, il π è un numero irrazionale, quindi non può essere scritto come quoziente di due valori interi.

La favola di Archimede e il pi greco

Tanto tempo fa, nella soleggiata città di Siracusa, viveva Archimede, un studioso dalla curiosità infinita. Archimede non riusciva a stare fermo. Guardava le stelle, l’acqua che scorreva e le ruote dei carri.

Tra tutte le figure geometriche, una in particolare lo faceva riflettere: il cerchio. Si chiedeva: «C’è un segreto nascosto dentro ogni cerchio, dal più piccolo al più grande?».

Un giorno, Archimede si mise a disegnare sulla sabbia della spiaggia. Prese un bastoncino e misurò gli aspetti di ogni cerchio. Iniziò con il diametro, la linea dritta che taglia il cerchio a metà. Poi misurò la circonferenza, il bordo tutto intorno. Fece una prova: prese la misura del diametro e verificò quante volte stava nella circonferenza. Ci stava “3 volte e un pochino”.

Eseguì numerose prove, con cerchi di varie dimensioni. Non importava quanto fosse grande il cerchio: quel “3 e un pochino” era sempre lì, in maniera costante. Provò con un cerchio piccolo e un cerchio gigante: il diametro ci stava sempre “3 volte e un pochino”.

Ma – potremmo chiederci – come fece Archimede a essere così preciso senza computer? Usò un trucco geniale. Iniziò a disegnare dentro e fuori dai cerchi figure geometriche regolari con più lati e angoli.

All’inizio disegnò un esagono, un poligono con sei lati. Il perimetro di questa figura stava dentro al cerchio, quindi era sicuramente più corto della circonferenza. Poi disegnò un altro esagono fuori dal cerchio: il suo perimetro era invece più lungo della circonferenza.

Archimede capì allora una cosa importante: che la vera lunghezza della circonferenza doveva stare tra quei due perimetri.

Ma non si fermò lì.

Raddoppiò i lati: da 6 passò a 12, poi a 24, poi a 48, fino ad arrivare a 96 lati. Ogni volta il poligono assomigliava sempre di più a un cerchio. Il perimetro della figura interna diventava sempre più grande e quello della figura esterna sempre più piccolo, stringendo sempre di più la vera misura della circonferenza.

Alla fine Archimede riuscì a stabilire che quel misterioso rapporto tra circonferenza e diametro era compreso tra due numeri molto vicini: 3,1408 e 3,1429.

Quel numero speciale oggi lo chiamiamo π (pi greco).

Archimede non conosceva computer né calcolatrici, ma con pazienza, geometria e tanta curiosità riuscì a scoprire uno dei numeri più famosi della matematica. E tutto iniziò con un bastoncino, un po’ di sabbia e una semplice domanda su un cerchio.

Ancora oggi, ogni volta che disegniamo un cerchio – grande come una ruota o piccolo come una moneta – quel misterioso numero è sempre lì, nascosto nella sua forma perfetta: π ≈ 3,14.

Il metodo di Archimede per trovare il valore di pi greco

Questo metodo si basa sull’idea di approssimare il cerchio usando poligoni regolari. Per farlo, Archimede usò poligoni inscritti e poligoni circoscritti al cerchio.

Archimede intuì che la misura della circonferenza del cerchio doveva stare tra un valore più piccolo (quello del perimetro del poligono inscritto) e un valore più grande (quello del perimetro del poligono circoscritto).

Partì da un triangolo (un poligono di 3 lati). Poi passò a 6, 12, 24, 48 fino a 96 lati.

Con un poligono di 96 lati riuscì a dimostrare questa formula: 3,1408 π 3,1429, un risultato straordinariamente preciso per l’epoca.

Come si arriva al calcolo del pi greco come 3,14…

Consideriamo un cerchio di raggio 1 e un poligono regolare di 6 lati.

Vediamo che:

• l’esagono inscritto ha un perimetro di 6 x 1 = 6 (notiamo che si tratta di 6 triangoli equilateri, quindi il lato è uguale al raggio);
• l’esagono circoscritto ha un perimetro di circa 6,928.

Se C è circonferenza del cerchio, abbiamo:

6 C 6,928.

Posto che il raggio sia 1 e il diametro d, abbiamo:

6/2 C/d 6,928/2,

dove C/d è il rapporto tra la circonferenza C e il diametro d.

Se assegniamo al rapporto C/d la lettera greca π, possiamo scrivere:

3 π 3,464.

Se poi consideriamo un poligono regolare di 96 lati, arriveremo a stringere sempre di più i limiti dell’intervallo in cui sta pi greco. Il calcolo allora sarà:

3,1408 π ​ 3,1429.

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