Luoghi geometrici. Esempi e soluzioni per la maturità.
Le richieste di luoghi geometrici nella prova scritta degli esami di Stato. Esempi significativi di tracce già proposte.
Le tracce assegnate alla prova scritta di matematica degli esami di Stato hanno sempre costituito uno strumento prezioso per la preparazione degli studenti e un utile riferimento per la progettazione didattica dei docenti. È lecito chiedersi se, quest’anno, togliendo alla prova scritta il suo carattere nazionale si vanifichi anche il suo ruolo di orientamento didattico.
Può essere interessante, pertanto, rivisitare alcuni testi di problemi “di maturità” più recenti o meno recenti, che possano comunque fornire esempi di traguardi da raggiungere, tipologie di formulazione, strategie risolutive o, più in generale, stimoli culturali.
Riprendendo l’analisi dei problemi riguardanti i luoghi geometrici, ci soffermiamo su quattro tracce che ben si prestano per confrontare le soluzioni di tipo analitico con quelle sintetiche e ragionare sulle costruzioni con riga e compasso, sfruttando eventualmente le potenzialità dei software di geometria dinamica
- Problema 1. Sessione ordinaria 1990-‘91
- Problema 2. Sessione ordinaria 1989-‘90
- Quesito 7. Sessione ordinaria PNI 2007
- Problema 2. Sessione ordinaria Ordinamento 2012
Le prime due tracce risalgono al periodo di transizione dal vecchio esame a quello della Riforma Berlinguer, le altre due al passaggio dal vecchio ordinamento ai nuovi Licei della Riforma Gelmini.
Può essere importante ricordare lo scenario scolastico di trent’anni fa e di dieci o 15 anni fa.
Nell’anno 1989-1990 l’esame di Stato non aveva subito significative modifiche rispetto alla Riforma-Sullo del 1969.
La prova scritta era costituita da tre problemi, preceduti dalla nota: Fra le seguenti questioni il candidato tratti quelle che ritiene più adeguate alla sua preparazione. Tempo concesso: 5 ore.
Il ministro della Pubblica istruzione era Sergio Mattarella, il quale poi si sarebbe dimesso qualche mese più tardi, dopo l’approvazione, da parte del Parlamento, della legge Mammì (Disciplina del Sistema televisivo pubblico e privato).
A gennaio era stata aperta la Prima Conferenza Nazionale della Scuola voluta dal precedente ministro Galloni, in cui si cominciava a parlare di Autonomia scolastica.
Il progetto di revisione dei programmi era portato avanti dalle sperimentazioni.
Il Piano Nazionale Informatica era già in atto in molti istituti scolastici, il Progetto Brocca fu varato nel 1991.
Nelle prove d’esame si notano però alcuni spunti innovativi anche nelle tracce assegnate ai corsi di ordinamento: i quesiti favoriscono approcci risolutivi diversi. Si parla di luoghi geometrici, di simmetrie e traslazioni, si fa riferimento ad applicazioni dell’Analisi alla Fisica.
Le prove del nuovo esame, grazie anche alla struttura articolata in problemi e quesiti, sono caratterizzati da maggiore versatilità e ricchezza dei contenuti.
Primo esempio
Soluzione
Il problema richiede essenzialmente conoscenze e competenze di Algebra (equazioni irrazionali, equazioni in cui compare un valore assoluto, calcoli con i radicali, regola di Ruffini) e Geometria Analitica (luogo geometrico, parabola e segmento parabolico, simmetrie).
Anche il calcolo dell’area può essere effettuato senza ricorrere ad un integrale ma semplicemente utilizzando il teorema di Archimede sull’area di un segmento parabolico.
La presenza significativa di contenuti affrontati negli anni precedenti va vista come una scelta a favore del candidato che, ricordiamo, deve trattare “quelle più adeguate alla sua preparazione”.
Purtroppo, la realtà fu molto diversa.
Molti studenti furono ingannati dai contenuti elementari del quesito e ne sottovalutarono alcuni aspetti:
- la formulazione richiede una certa attenzione nella lettura del testo
- le procedure da applicare richiedono abilità nei calcoli ma anche spirito critico
Un banale errore di impostazione, da parte di una nutrita maggioranza di candidati, precisamente l’omissione del valore assoluto da applicare alla variabile nel calcolo del perimetro, procurò un certo allarmismo e una richiesta di verifica del testo .
Ovviamente, individuato il luogo L come una parabola o un arco di parabola, le successive richieste, area racchiusa e presenza di otto punti di incontro con l’iperbole equilatera, apparivano sicuramente prive di significato.
Gli effetti di quanto accaduto in sede d’esame ebbero un riscontro negli elaborati di matematica della sessione di esame successiva: una fioritura di espressioni in valore assoluto, anche quando erano palesemente positive!
I tre esempi seguenti si riferiscono al problema delle condizioni di tangenza tra curve, in particolare tra retta e circonferenza o tra due circonferenze.
Secondo esempio
Soluzione
Contenuti: Algebra- Geometria (approccio analitico o approccio sintetico)- Proprietà della parabola e dell’iperbole. Calcolo integrale.
Terzo esempio
Soluzione
La soluzione è molto semplice in quanto il luogo richiesto non è altro che la retta perpendicolare alla tangente alla parabola nel punto assegnato.
Un quesito banale? Non proprio: per una soluzione esauriente lo studente deve aver sistemato criticamente e logicamente diversi obiettivi di apprendimento. Il procedimento risolutivo deve essere inoltre adeguatamente e sinteticamente argomentato.
Dal punto di vista formativo offre molti spunti di approfondimento:
- Costruzione della retta tangente e della normale alla parabola come bisettrici dell’angolo di due rette uscenti dal punto P
- Riflessione sulle proprietà dei fasci di circonferenze, asse radicale, asse centrale, circonferenze degeneri
- Confronto col problema della maturità 1989-’90: in entrambi i casi si chiede il luogo geometrico dei centri delle circonferenze tangenti ad una data retta e passanti per un punto assegnato.
Nel caso in cui il punto non appartiene alla retta (come nel problema del ’90) il luogo richiesto è una parabola avente il fuoco e la direttrice coincidenti, rispettivamente, col punto e con la retta assegnata. Che succede se il punto appartiene, invece, alla retta?
La parabola degenera in due rette coincidenti con l’asse di simmetria!
Quarto esempio
Soluzione
Contenuti: Geometria – Calcolo integrale. Volume di un solido calcolato col metodo delle “fette” e volume di un classico solido di rotazione intorno all’asse
Si parla di luoghi geometrici nel punto 4. Nella soluzione proposta si affrontano anche delle considerazioni di natura geometrica relative alla costruzione e della determinazione del luogo.
Il punto più interessante è comunque il passaggio dalla prima alla seconda richiesta in quanto fornisce l’occasione di riflettere e approfondire alcune strategie – chiave per risolvere problemi di geometria analitica: imporre condizioni, assegnare limitazioni alle variabili, discutere casi limite.
Nel primo caso non si hanno condizioni sufficienti per determinare il centro e il raggio della circonferenza. Dalle due condizioni di tangenza si può determinare una relazione tra che permette di esprimere un parametro in funzione dell’altro e scrivere l’equazione di una famiglia di circonferenze.
Nel secondo caso la circonferenza è univocamente determinata dalle tre condizioni di tangenza e dal fatto che debba appartenete al primo quadrante. La terza condizione , sostanzialmente , permette di trovare il valore del parametro e determinare , nella famiglia di circonferenze, quella richiesta dal testo.
Spesso questo metodo è adottato per determinare l’equazione di una curva, qualora porti a calcoli e procedure più semplici rispetto all’approccio standard.
Se l’equazione dipende da parametri, si devono imporre n condizioni indipendenti.
Scartando inizialmente una condizione, nell’equazione resta un parametro da determinare in seguito imponendo l’ulteriore condizione.
Il metodo è noto agli studenti liceali come «metodo dei fasci», per determinare l’equazione di una conica, utilizzando parametri di primo grado.
Non a caso questo quesito, che pone questioni legate alla scelta di strategie risolutive ma anche alla formulazione dei problemi, è ispirato a un problema di George Polya, come è stato osservato in un precedente articolo di Matmedia.
