Matematica allo scientifico: i punti focali

Punti focali dell’insegnamento della matematica nel liceo scientifico.  Dal quadro di Mondrian del 2012 al Report dell’esperienza 2022.

Come è noto, la seconda prova scritta dell’esame di Stato 2022  non è stata elaborata a livello nazionale ma è stata predisposta, nei singoli istituti scolastici, dai docenti titolari della disciplina, “affinché detta prova fosse  aderente alle attività didattiche effettivamente svolte nel corso dell’anno scolastico sulle specifiche discipline di indirizzo”.

In particolare, i docenti di Matematica dei licei scientifici, chiamati a formulare una prova nel rispetto dei Quadri di riferimento  riguardo la struttura e i contenuti, hanno operato collegialmente  concentrandosi  sui  traguardi di apprendimento verso  cui avevano indirizzato i loro percorsi didattici, traguardi che dovevano essere  necessariamente condivisi.

Lavorare in funzione di un determinato traguardo, salvaguardando la libertà di insegnamento e la ricchezza degli spunti didattici, non è una novità per il docente che ha compreso lo spirito delle Indicazioni nazionali e ha contribuito a renderle operative   nella propria realtà scolastica.

Per la scelta della tipologia delle prove e per la loro formulazione ha  contribuito, si presume,  la professionalità  acquisita dal docente nell’esperienza didattica e nella partecipazione ai  dibattiti sulle prove d’esame.

Prescindendo dalle  difficoltà dell’emergenza epidemiologica degli ultimi due anni, il lavoro dei docenti nella definizione di una prova adeguata alle esigenze delle varie classi, sembra riportarci  al  periodo dell’Indagine nazionale sugli esiti della seconda prova del liceo scientifico  e dei Progetti nazionali per la matematica, che accompagnarono la prima riforma dell’esame di Stato promossa da Berlinguer e poi la riforma Gelmini dell’ordinamento scolastico, operativa dal 2010.

L’esigenza di avvicinare le scelte degli estensori delle prove d’esame agli obiettivi didattici dei docenti, mal supportati  dai programmi ormai obsoleti dei corsi tradizionali e  troppo vasti nei corsi sperimentali, aveva sollecitato  la costruzione di un Syllabus, elaborato poi, nel 2009,  dalla struttura Tecnica degli Esami di Stato con la collaborazione di un ampio gruppo di esperti (docenti universitari e secondari, rappresentanti delle associazioni professionali ).

Benchè  non fosse stato mai ufficializzato, il Syllabus 2009 ha guidato il dibattito sugli esami di Stato e  orientato, di fatto, le scelte degli estensori delle prove d’esame.

Opportunamente rivisto,  nel 2015 è stato adattato ai nuovi licei, mentre, nel frattempo i risultati dei Progetti nazionali si concretizzavano  nella Tavola degli apprendimenti per il primo  biennio  e nel Quadro di Mondrian, un Syllabus essenzializzato nei risultati attesi a conclusione degli studi del Liceo Scientifico.

I due poster, distribuiti in moltissimi istituti scolastici, hanno  sollecitato una riflessione collettiva sulle Indicazioni nazionali; hanno contribuito a definire in modo consapevole i percorsi didattici e a condividere le esperienze e i criteri di valutazione.

Nello spirito delle Indicazioni nazionali venivano superati il vincolo dei programmi e l’organizzazione canonica, poco personalizzata, delle discipline.

Qualche docente  puntò sul coinvolgimento attivo degli studenti, stimolati a scegliere le loro “mete” .

Il ritorno alla prova di matematica, dopo le prove integrate di matematica e fisica del 2019 e gli elaborati interdisciplinari degli ultimi due anni, permette di riaprire  il dibattito sui “focal point” dell’insegnamento della matematica.

La raccolta del Report di Matmedia, con le sue 65 tracce, fornisce lo strumento per un confronto tra le scelte dei docenti del 2022  e i risultati dei Progetti nazionali del 2012.

Le proposte del Quadro di Mondrian sono confermate, in gran parte, dalla lettura delle tracce del Report 2022.

I traguardi  di apprendimento privilegiati  corrispondono, come era prevedibile, agli argomenti di Analisi, in particolare: limiti, proprietà delle funzioni, derivate , integrali.  Sempre presenti  i problemi di ottimizzazione e il calcolo di aree e volumi (per  questi  ultimi è richiesto anche il  metodo delle “fette”, la cui comparsa nelle prove d’esame aveva a suo tempo sollecitato una riflessione sui metodi standard e sulla loro applicazione in modo meccanico da parte degli studenti)

Il problema geometrico classico, punto di partenza per arrivare a costruire  funzioni algebriche o trigonometriche, risulta ridimensionato;  sono sempre centrali, però,  le proprietà delle figure geometriche e il metodo delle coordinate.

La ricerca di valori approssimati per le radici di un’equazione o per il calcolo di un integrale definito completano, spesso, lo studio di una funzione.

Presenti, tra i quesiti, questioni di calcolo combinatorio e di probabilità.

Sono stati trascurati alcuni  argomenti di carattere storico-epistemologico, le variabili aleatorie continue, i numeri complessi, il principio di Induzione e in generale le questioni relative a successioni e serie. Va ricordato, comunque, che alcuni di questi argomenti erano stati valorizzati negli elaborati interdisciplinari  degli anni precedenti.

Anche quest’anno i docenti  hanno, inoltre, dimostrato di non voler rinunciare alle  equazioni differenziali, malgrado esse non siano menzionate esplicitamente nei Quadri i riferimento.

Per quanto riguarda il Syllabus 2009, ricordiamo la sua organizzazione per competenze: calcolare, applicare, risolvere, illustrare, definire, spiegare, dimostrare.
Nelle tracce del report 2022 troviamo maggiore riscontro nel  Calcolare/Determinare/ Rappresentare  e nell’Applicare/Risolvere  ma, nelle frequenti richieste di argomentare il procedimento risolutivo, si evidenzia una certa attenzione verso  Spiegare /Illustrare/Definire.

La formulazione di alcuni quesiti risponde  perfettamente a Dimostrare/Dedurre

Si nota, in proposito, la presenza dello stesso esempio riportato nel Syllabus :
Dedurre dal teorema di Lagrange, la disuguaglianza: |sen b – sen a| ≤ |b – a|.
e di altri quesiti analoghi.

Sono frequenti, inoltre, le richieste di dedurre da un grafico le proprietà di una funzione o anche questioni di una certa originalità.

Riferimenti  alle prove assegnate  nelle  precedenti sessione d’esame.

Elementi di continuità  si riscontrano sicuramente nella tipologia di formulazione dei problemi , articolati in 4 o 5 punti sostanzialmente indipendenti, nella presenza di grafici che aiutano lo studente nella comprensione del testo , nella scelta di  argomenti  che  interessano l’intero quinquennio (alcuni quesiti fanno riferimento, ad esempio,  alle  proprietà dei polinomi  o ai teoremi fondamentali della geometria euclidea).

Alcuni problemi, anche se  in netta minoranza, sono contestualizzati  in una situazione di realtà, mentre le applicazioni alla fisica si riducono a  quattro quesiti sul significato fisico della derivata ( grandezze cinematiche e relazione tra carica e intensità di corrente)

Interessante è osservare come i docenti abbiano, in alcuni casi, accolto  integralmente o con opportune modifiche, alcune tracce già assegnate in precedenza ( ci riferiamo agli anni dell’Indagine nazionale)  come  il secondo problema del 2013  (corso di ordinamento) o i problemi  assegnati nel 2014 ai corsi sperimentali

Significativi i quesiti seguenti, proposti anche in più di una traccia:

PNI. 2001–Dimostrare che se p(x) è un polinomio, allora tra due qualsiasi radici distinte di p(x) c’è una radice di p’(x)

Ordinamento 2011   Nella figura a lato, denotati con I, II e III, sono disegnati tre grafici. Uno di essi è il grafico di una funzione f, un altro lo è della funzione derivata f ‘ e l’altro ancora di f ”. Quale delle seguenti alternative identifica correttamente ciascuno dei tre grafici? Motivare la risposta

 PNI 2013-Un foglio rettangolare, di dimensioni  a e b , ha area 1m² e forma tale che, tagliandolo a metà (parallelamente al lato minore) si ottengono due rettangoli simili a quello di partenza. Quali sono a e b?

Ordinamento 2013    Si calcoli il dominio della funzione:

Altra “curiosità”: nella scelta della funzione da studiare, nei problemi o nei quesiti, i docenti hanno manifestato una netta preferenza per le funzioni del tipo  (ax²+bx+c)e^kx, in particolare per valori negativi di k.

La funzione presenta sicuramente molte proprietà interessanti al variare dei parametri e si presta alla modellizzazione di vari fenomeni.

Notiamo che  il suo ingresso agli esami di Stato risale al 1990, in un (inaspettato) problema  di applicazione alla Fisica, nella forma xe^-x .

Nel  2011, nel secondo problema del corso di ordinamento,  compare la funzione , che, per opportuni valori dei parametri, può rappresentare l’andamento del profitto di un’azienda , di cui si conoscono alcuni valori sperimentali riportati in  una tabella.

Il problema, sebbene accolto favorevolmente nei suoi aspetti innovativi,  suscitò alcune perplessità per  la sua formulazione non standard (presenza della tabella,  applicazione a situazioni reali, funzione parametrica di tipo esponenziale, uso della calcolatrice ) e per alcune richieste  non calibrate sul livello medio di preparazione dei candidati.

Questo il testo completo del problema