Una nuova stagione per lo studio di funzione

La matematica del liceo scientifico: una nuova stagione per lo studio di funzione che si trasforma in una famiglia di funzioni.

Lo “studio di funzione” agli esami di Stato

«Le matematiche possono considerarsi come una insigne collezione di metodi per operare su certe “materie prime” (numeri, funzioni, figure geometriche, ecc.) al fine di risolvere certi problemi, chiarire le conseguenze dì certe premesse , ecc. Quest’operetta concerne, come dice il suo titolo, le principali di tali materie prime: le funzioni……». Da: Francesco Giacomo Tricomi – Prefazione al  testo “Le funzioni”(1972).

Il concetto di funzione, legato alla corrispondenza tra gli elementi di due insiemi o alla dipendenza di due variabili, è senza dubbio fondamentale nello sviluppo delle capacità cognitive dell’individuo, dalle prime semplici attività nella scuola dell’infanzia alle competenze matematiche, via via più complesse, che lo studente acquisisce nel suo percorso scolastico.

In particolare, la matematica del liceo scientifico è ancora associata  allo “studio di funzione”, ovvero a una serie di procedure applicate a una funzione reale di variabile reale culminante nella costruzione del suo grafico.

Un’analisi attenta degli obiettivi didattici associati allo studio di una funzione, in particolare nelle prove scritte degli esami di Stato, rivela un’interessante evoluzione che contrasta la tendenza all’inerzia nei confronti delle novità e il rischio di mortificare la didattica in una ripetizione di meccanismi stereotipati.

Come è noto, fino al 1968 la prova scritta di matematica agli esami di Stato si articolava generalmente in un problema geometrico da risolvere con l’aiuto dell’algebra o della trigonometria. La presenza di un parametro richiedeva una discussione sul numero delle soluzioni del problema stesso.

L’accertamento delle conoscenze era poi completato nel corso della prova orale.

La  riforma del 1969 ad opera del ministro Fiorentino Sullo,  che prevedeva solo due prove scritte e un colloquio su altre due discipline, sollecitò l’auspicata revisione dei contenuti delle tracce d’esame e degli obiettivi didattici da accertare, dando spazio agli argomenti di analisi, studiati negli ultimi due anni.

Rileggendo le tracce assegnate nel 1969 e nel 1970, osserviamo che la prima, per  una certa continuità, ripropone il problema geometrico al quale però è associata un funzione di cui si chiede l’andamento, in particolare  gli intervalli in cui risulta crescente o decrescente. La  seconda è invece centrata sul grafico di due funzioni e sui principali concetti di analisi  ( applicazione del calcolo integrale al calcolo di aree piane e del calcolo differenziale per determinare la retta tangente a una curva in un suo punto).

La struttura della prima traccia è la stessa del «vecchio» problema con discussione, al quale si potrebbe ricondurre imponendo la condizione R²(x)=k, con parametro k positivo arbitrario. La richiesta dell’andamento della funzione, peraltro, offre al problema geometrico un orizzonte più ampio.
Da notare che nulla è richiesto riguardo ai parametri, a, s e b, ma il risolutore attento e consapevole metterà in evidenza le condizioni che essi devono soddisfare per costruire il triangolo e non far perdere significato al problema geometrico.
La seconda traccia, suddivisa in tre punti, dà maggiore rilevanza allo studio delle funzioni. Il grafico delle due curve non è richiesto in modo esplicito ma è evidente la sua utilità per risolvere i punti successivi.

Entrambe le tipologie di formulazione saranno presenti negli anni successivi, quando sarà introdotta  nelle tracce di esame l’opzione di scelta da parte del candidato.

La presenza costante dello studio di funzione contribuì, da una parte, a farlo percepire come un traguardo fondamentale, punto di convergenza di tutto il programma di analisi, dall’altra a ingabbiarlo in uno schema fisso di procedure da applicare. Si cominciò a parlare di «trinomite» tornata in auge sotto nuove spoglie,  ricordando la sarcastica critica di de Finetti nei confronti della discussione del trinomio di secondo grado.

Negli anni seguenti, allo studio di funzioni vennero associati nuovi argomenti, come  i luoghi geometrici o  semplici trasformazioni del piano; si cominciò a prendere in considerazione le applicazioni alla fisica.

Tutto questo  contribuiva ad arricchire i percorsi didattici, specialmente nei corsi di ordinamento per i quali stentava ad arrivare  un aggiornamento dei programmi, ma rendeva le tracce d’esame sempre più complesse e meno prevedibili.

In alternativa al classico “si studi la funzione y = f(x) e se ne disegni il grafico”, molto spesso il punto di partenza era  una famiglia di funzioni dipendenti da uno o più parametri, assieme alle condizioni idonee per determinarli.

Le condizioni assegnate  erano collegate a questioni di carattere  geometrico o algebrico oppure  ai concetti di analisi. Spesso richiedevano calcoli laboriosi e la traccia risultava inevitabilmente appesantita.

Un esempio, di cui si riportano solo i primi due punti del testo:

Anno scolastico 1997-1998
Sessione ordinaria  Corso di ordinamento
In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy, sono assegnate le curve di equazione: y = ax³ + 3x + b dove a, b  sono parametri reali con a ≠ 0.
a) Determinare i valori di a per i quali queste curve hanno un punto di massimo ed uno di minimo relativi e quelli per i quali non ammettono tali punti.
b) Calcolare i valori di a e b in modo che la curva corrispondente abbia un massimo relativo uguale a 0 e sechi l’asse x nel punto di ascissa −2√2

Il problema,  impegnativo,  ma equilibrato  dal lato concettuale, presenta  invece  varie difficoltà nello sviluppo dei calcoli, specialmente nella risoluzione di un’equazione di terzo grado.

Alcuni elementi innovativi

Le nuove esigenze,  dettate dalla didattica laboratoriale e dall’attenzione ai collegamenti  della matematica con le scienze applicate, imposero una riflessione sulla formulazione delle tracce d’esame, soprattutto in occasione della riforma Berlinguer dell’esame di Stato e della riforma Gelmini del sistema di istruzione.

Nel Problema 1 della sessione ordinaria 2004-PNI è assegnata  la curva di equazione  che può rappresentare, per opportuni valori dei parametri, la  distribuzione di probabilità  di una variabile aleatoria continua, in particolare una distribuzione normale.

Della curva di Gauss si parla anche nel quesito 4 del 2007, sempre per i corsi sperimentali. E’ evidente come la traccia acquisti maggiore coerenza se la ricerca di particolari valori dei parametri ha un ben preciso significato nella definizione della  funzione.

Quesito 4 PNI 2007  Si consideri la  funzione: Se ne spieghi l’ importanza nelle applicazioni della matematica illustrando il significato di μ, σ, σ2 e come tali parametri ne influenzino il grafico.

Un altro  problema innovativo, di cui si è già parlato in un recente articolo di Matmedia. è quello assegnato nel 2011 ai corsi di ordinamento,  dove una  funzione dipendente da parametri rappresenta l’andamento del profitto di un’azienda e può essere determinata tramite  alcuni valori sperimentali riportati in  una tabella.

Nella sessione ordinaria PNI del 2013 è stato assegnato lo studio di una curva logistica, modello di crescita di una popolazione.

In accordo con le Indicazioni nazionali che accompagnarono la riforma Gelmini, queste prove hanno contribuito a mettere in evidenza alcuni obiettivi specifici di apprendimento nell’ambito della modellizzazione:

1. determinare  il valore di uno o più parametri  affinché l’espressione analitica  di una funzione corrisponda ad alcune caratteristiche  del modello che deve rappresentare.
2. riconoscere il significato geometrico o fisico di alcune proprietà delle funzioni (monotonia, concavità o convessità, punti angolosi, estremi relativi o assoluti, asintoti)

La traccia che in un certo senso ribaltò il punto di vista dello “studio di funzione” è  senza dubbio il  problema assegnato  nella sessione ordinaria PNI 2010, di cui si riporta solo la prima parte.

La novità, allora  introdotta, ora fa parte dei Quadri di riferimento del 2018 per la prova scritta di matematica
“A partire dall’espressione analitica di una funzione, individuare le caratteristiche salienti del suo grafico e viceversa “
Da notare, inoltre che per la prima volta compare una figura nel testo di un problema d’esame.

I docenti autori delle tracce d’esame e il Report 2022

È noto il lungo dibattito intorno alla prova scritta di matematica che accompagnò le varie riforme riguardanti la struttura e i contenuti.
I docenti, generalmente, hanno dimostrato di  rimanere fedeli al sempre valido “studio di funzione “  ma hanno apprezzato alcune novità nella formulazione dei problemi.
E’ interessante osservare  che, nelle tracce  raccolte nel Report 2022 di Matmedia, tra gli approcci, il terzo è risultato vincente.
Fra le  65 tracce esaminate, infatti, ben 55  presentano   una famiglia di funzioni in  almeno uno dei due problemi  ( 11 in entrambi).  Analisi di funzioni parametriche compaiono, peraltro, anche nei quesiti.

Le motivazioni possono essere molteplici.

Probabilmente è stata scelta, per i problemi,  una tipologia di formulazione che potesse consentire più punti tra loro indipendenti senza allontanarsi troppo dall’argomento centrale del testo ( i valori esatti dei parametri sono stati  quasi sempre resi noti a titolo di struttura di controllo).

La scelta, inoltre,  potrebbe essere stata dettata dall’esigenza di continuità rispetto alle prove integrate di matematica e fisica e agli elaborati  interdisciplinari, dove   le funzioni sono introdotte  per costruire possibili modelli di fenomeni reali.

D’altronde, poiché gli studenti incontrano fasci o  famiglie di curve già nello studio di rette e coniche nel piano cartesiano, è plausibile che  molti docenti tendano a generalizzarne concetti  e procedure nell’ambito dello studio di funzioni con i metodi dell’Analisi.

Nella formulazione del testo possiamo  riscontrare due tipologie di  “incipit”, di cui  si riportano alcuni esempi, tratti dal Report  2022 ( per leggere l’intero testo del problema si può consultare il catalogo delle tracce su Matmedia).

Prima tipologia

In questi tre  casi, più che una funzione da studiare, abbiamo un insieme di funzioni: oggetti che possono essere studiati globalmente nelle loro proprietà comuni o individuati tramite una proprietà caratteristica.

Questo aspetto  si ricollega   allo studio delle proprietà geometriche delle curve  a partire dalle loro equazione e alla teoria dei fasci o famiglie di curve.

Le funzioni dei primi due  problemi possono essere associate a fasci di curve algebriche e non si esclude un approccio risolutivo con metodi elementari.

Il terzo problema introduce una famiglia di funzioni trascendenti passanti per due punti base e suggerisce la strategia per determinarli

Seconda tipologia (più frequente)

In questi altri tre problemi abbiamo una funzione  definita mediante  alcuni parametri. Questi possono essere determinati grazie alle informazioni fornite dal testo o dedotte da un grafico (oppure  imponendo alcune condizioni affinché sussistano determinate proprietà ).

È evidente l’analogia con la ricerca o lo studio di modelli matematici  per la descrizione di un fenomeno fisico o  per l’analisi di dati sperimentali.

Confrontando  la prima e la  terza traccia si osserva che  in quest’ultima  la medesima funzione è inserita in una situazione di realtà, richiamando i cosiddetti problemi contestualizzati proposti nel 2015, anno in cui andavano a regime le classi del nuovo ordinamento  della riforma Gelmini. La formulazione dei suddetti problemi aggiungeva, forse enfatizzandoli, alcuni peculiari obiettivi , quali il passaggio dal  linguaggio descrittivo-colloquiale a quello  formale e la valorizzazione degli aspetti applicativi delle conoscenze matematiche.

Nel Report 2022 troviamo in tutto 9  problemi contestualizzati , di cui 2 nello stesso liceo. I docenti hanno dimostrato di privilegiare, almeno in sede d’esame, la formulazione  classica.

I traguardi fondamentali dell’insegnamento

Confrontando le tracce del 2022 con la traccia del 1970, possiamo notare come gli estensori delle prove, estensori istituzionali nel 1970 e docenti dell’istituto scolastico nel 2022, si siano concentrati sugli obiettivi irrinunciabili e ritenuti maggiormente significativi.  Si può dire, del resto, che entrambe le esperienze si riferiscono a situazioni di contingenza. Nel 2022 l’emergenza pandemica ha impedito, in molti licei, il normale percorso didattico. Nel  1970 c’era l’esigenza di rinnovare la struttura e i  contenuti  delle prove d’esame, in una riforma avviata sull’onda delle agitazioni studentesche e ancora non ben definita. Nello stesso tempo, si teneva conto delle difficoltà  che lo studente avrebbe incontrato di fronte a una prova diversa da quelle  su cui si era probabilmente esercitato negli anni precedenti e nello stesso tempo troppo impegnativa.

Nel 2022, nelle scuole in cui  il disagio è stato meno vincolante, i docenti hanno potuto spaziare maggiormente nella scelta dei contenuti, nel rispetto delle Indicazioni Nazionali e dei Quadri di riferimento, raccogliendo l’eredità delle esperienze precedenti, tra innovazione e tradizione,

Lo “studio di funzione “ risulta essere sempre l’argomento privilegiato e le formulazioni scelte ne rivelano una varietà di  aspetti ( geometrici, analitici, applicativi) che possono essere ricondotti alla definizione stessa di funzione.

L’ulteriore passo potrebbe essere una riflessione sugli approcci didattici che  allo studente propongono  il concetto di funzione in momenti diversi del suo percorso formativo, spesso con varie finalità e con diversi linguaggi e strumenti di rappresentazione .

Al docente  spetta sempre il delicato compito di  un percorso didattico  equilibrato, che faccia  risaltare l’unitarietà della conoscenza matematica, dall’introduzione al pensiero strutturale all’utilizzo di leggi e formule, dalla costruzione di modelli a livelli astratti di concettualizzazione.