Contare: in che base?

Precetti didattici e sistemi di numerazione. Si può contare in una base negativa? E se la base è un numero complesso?

Un precetto che ha profonde radici storiche nella didattica della matematica è il seguente:

«Nello svolgimento del programma si terrà presente che una nozione può assumere più chiaro significato se messa a raffronto con altre ad essa parallele o antitetiche; così, per illustrare una proprietà si daranno anche esempi di situazioni in cui essa non vale».

In questa forma furono i programmi di insegnamento del 1979 per la scuola media ad esplicitarlo inserendolo in una serie di raccomandazioni didattiche per il docente e corredandolo del significativo esempio dell’uso di basi diverse da 10: «la numerazione decimale potrà essere pienamente intesa se confrontata con altri sistemi di numerazione». Nello stesso spirito e con le medesime finalità anche i programmi per la scuola elementare del 1985 raccomandarono  l’introduzione di sistemi di numerazione diversi da quello decimale. Ciò ovviamente per aumentare il grado di comprensione della matematica portando gli studenti gradualmente a divenire consapevoli che non c’è un unico modo per  contare e sincerarsi della validità del teorema:

Ogni intero b>1 può essere assunto come base di un sistema di numerazione: le cifre (o numerali) necessarie sono 0,1,…..,b-1.

I sistemi di numerazione più noti sono quelli in base dieci e quello in base due.

Imparare a contare è un’operazione primaria dotata di una sua concretezza e per la quale esistono modalità e strumenti adeguati a partire dall’antico e mai tramontato abaco. Ed è noto quanto essi siano ampiamente trattati anche in considerazione dell’attenzione rivolta all’alfabetizzazione digitale e al coding già a livello di scuola dell’infanzia.

Una rottura con l’aspetto concreto del contare si verifica se si pensa di poter utilizzare una base negativa. Che senso può avere contare in base -2 o -10? Cioè raggruppare gli oggetti secondo le successive potenze del numero prescelto?

Staccarsi dalla concretezza degli oggetti non è facile anche negli anni successivi di scuola. Eppure fare matematica è anche questo: abituare a superare i limiti ai quali il discorso matematico è spesso sottoposto dalle stesse esigenze didattiche, pensare, ad esempio in questo caso, alla rappresentazione di un numero come un fatto formale. E come tale nulla vieta di effettuarla in una base negativa.

Il teorema si generalizza: ogni numero intero può esprimersi nella base b (b intero maggiore o minore di zero) utilizzando le cifre 0, 1, …. , |b| -1 dove |b| è il valore assoluto.

Un esempio chiarisce immediatamente la portata dell’affermazione. Se la base è -2 le cifre del sistema saranno quelle binarie 0 ed 1. Sia 1111 un numero scritto nella base -2, la sua rappresentazione nella base 10 è:

e cioè -5.

Viceversa per esprimere in base -2 il numero 3 o -3, l’algoritmo, per analogia alla base positiva, è il seguente:

In base -2, i numeri -3 e 3 si scrivono rispettivamente 1101 e 111. Può essere certamente interessante anche per ragazzi di scuola media esprimere numeri nella base -2 (ma anche -3 o altro) e lavorare con le divisioni ragionando sui quozienti successivi e scoprire che …. i numeri sono senza segno.

E ancora, poiché

tutte le sequenze dispari: 0; 100; 10001;…rappresentano numeri postivi, mentre i negativi hanno una espansione pari di cifre ovvero di bit, ad esempio 10; 11; 1001; 111100; ecc. Una questione importante anche per le macchine calcolatrici: operando in base negativa non hanno alcuna necessità dei simboli + e -.

La computer science ha assegnato da tempo a tali questioni una certa importanza spingendo ad investigare la possibilità di utilizzare anche basi complesse. Perché no?

Se infatti con l’assunzione di una base negativa la “macchina” non deve premettere alcun segno +/- assumendo una base complessa viene ad aggiungersi una ulteriore semplificazione perché anche un numero complesso sarà una espansione di bit ossia non richiederà una particolare forma di scrittura sia essa algebrica, trigonometrica o esponenziale.

La base complessa

Un intero di Gauss è un numero complesso della forma a+ib con a e b interi. Un intero di Gauss si può assumere come base di un sistema di numerazione utilizzando le cifre 0, 1, … ,a²+b²-1 per cui se come base proviamo a fissare, ad esempio, l’intero di Gauss 1+i le cifre del sistema saranno quelle binarie 0 ed 1. Esaminando le potenze successive di 1+i

(1+i)⁰=1   (1+i)¹=1+i   (1+i)²=2i    (1+i)³=2+2i    (1+i)⁴=-4  ……

si vede facilmente che numeri reali possono comparire nelle espansioni di 1, 5, 9, 13, ecc. bit. I numeri reali di espansione 9 saranno

100000000           100000001           100010000           100010001

che rappresentano rispettivamente gli interi 16, 17, 12, 13.

Viceversa tenendo conto che:

1 e i si ripetono indefinitamente: 2 non è esprimibile in base 1+i ma non lo sono neppure i numeri quozienti parziali 1-i, -i, -1, -1+i, i. Ne deduciamo che 1+i non è una base idonea per rappresentare tutti gli interi di Gauss e allo stesso modo non lo è la base 1-i.

In rete si trovano vari articoli sulle ricerche dell’uso di basi complesse, in particolare originate da Donald E. Knuth che se ne interessò in un articolo del 1955. Si segnala in particolare en.wikipedia.org/wiki/Quater-imaginary_base 

NOTA

[1]Emilio Ambrisi Problemi vecchi e nuovi in Didattica delle Scienze Ed. La Scuola, Brescia, n 137/1988