Matematica con i triangoli

Fare matematica con i triangoli. Una formula ricorsiva per trovare i triangoli eroniani aventi lati espressi da numeri interi consecutivi.

Il triangolo di lati 3, 4, 5 è particolarissimo. È l’unico con i lati, interi e consecutivi, ad essere rettangolo. Altrettanto particolare è il triangolo 13,14 e 15 che non è retto, ma è l’unico ad avere i lati e l’altezza espressi da numeri consecutivi: 12, 13, 14, 15. I due triangoli sono accomunati da un’ulteriore proprietà: hanno entrambi area razionale: 6 e 84.

Negli esempi presentati ci sono interessanti stimoli didattici ad andare avanti rafforzando concetti algebrici e geometrici. La considerazione cioè di triangoli aventi misure dei lati che siano numeri interi consecutivi si rivela molto promettente per fare matematica. La terna (1, 2, 3) è la più piccola possibile, ma non individua alcun triangolo. Un triangolo siffatto non esiste in quanto non sono soddisfatte le disuguaglianze di base. Esiste però il triangolo di lati 2, 3 e 4. Domanda: la sua area è razionale? Calcoliamola applicando la formula di Erone: $A=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Essendo 9 il perimetro, è:

$A=sqrt{frac{9}{2}(frac{9}{2}-2)(frac{9}{2}-3)(frac{9}{2}-4)})=sqrt{frac{9}{2}cdot frac{5}{2}cdot frac{3}{2}cdot frac{1}{2}}= frac{3}{4}sqrt{15}$ che non è razionale.

Il problema si può affrontare in termini generali: siano 2n, 2n-1 e 2n+1 i lati del triangolo. Allora il perimetro è 6n e l’area

$A(n)=sqrt{3ncdot ncdot (n+1)(n-1)}=nsqrt{3(n^{2}-1)}$

che è razionale quando 3 (n²-1) è un quadrato perfetto.

Un punto di arrivo già notevole che è preludio altresì di uno sviluppo non meno interessante. Un aiuto in questo senso lo offre una formula scoperta da Henry Ernest Dudeney (1857- 1930) del quale si è già parlato in Triangoli con area e perimetro uguali.

La formula di Dudeney è d_n= 4d_n-1 – d_n-2 che ha il vantaggio di essere ricorsiva, un genere che piace agli studenti anche per il suo carattere operativo, del passo dopo passo. Chi è d_n? È il numero centrale nelle due terne (3, 4, 5) e (13, 14, 15) considerate nell’ordine d₁= 4, d₂ = 14. Allora: d₃= 4·14 – 4= 52 è il numero centrale della tripletta successiva e 4 · 52 – 14 = 194 e 4 · 194 – 52 = 724 sono i numeri centrali delle terne che vengono ancora dopo.

3 4 5

13 14 15

51 52 53

193 194 195

723 724 725

….. ….. …..

E le aree? Tutte razionali: 12, 84, 1170, 16296, 226974.

Il tema è interessante e notevole è la sua resa didattica in termini di profitto formativo. I docenti interessati ne trovano ampi riferimenti nella rete internet. In particolare: 536 Puzzles&Curious Problems edito da Martin Gardner nel 1967

Laureato in matematica, docente e preside e, per un quarto di secolo, ispettore ministeriale. Responsabile, per il settore della matematica e della fisica, della Struttura Tecnica del Ministero dell’Istruzione. Segretario, Vice-Presidente e Presidente Nazionale della Mathesis dal 1980 in poi e dal 2009 al 2019, direttore del Periodico di Matematiche.

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