Un problema trappola

Didattica della matematica: un problema trappola posto da Edouard Lucas e il sistema di equazioni per risolverlo.

La didattica della matematica è paragonabile a un gigantesco sacco sempre pieno dove per ogni argomento, concetto, procedura i docenti possono attingere a piacimento. In effetti, il magazzino dove nel corso dei secoli matematici ed educatori hanno depositato i prodotti della loro arte d’insegnare.  Materiali preziosi, senza tempo, riformulabili e adattabili a diversi e nuovi contesti.

Vi si trovano problemi facili e interessanti. Problemi come quello che il noto matematico e astronomo, Urbain Jean Joseph Le Verrier (1811-1877) chiamò problème piège cioè problema trappola. Eccolo:

«Due mercanti di vino entrano in Parigi, uno con 64 barili e l’altro con 20 barili dello stesso prezzo. Ma siccome non hanno danari abbastanza per pagare il dazio, il primo paga con 5 barili ed aggiunge 40 franchi, l’altro con 2 barili e gli vengono resi 40 franchi. Quali sono i prezzi del barile e del diritto d’entrata di ciascuno di essi?»

Un problema la cui formulazione si deve a François Édouard Anatole Lucas (1842 – 1891). Un nome che non è certo nuovo per i lettori di Matmedia. Di lui spesso si è parlato come matematico esperto di teoria dei numeri e di matematica dilettevole nonché esperto di scuola e di insegnamento; fu infatti ispettore scolastico.

Qual è la trappola? Luigi Campedelli che lo risolse per il Periodico di Matematiche (1/1926),  nella rubrica delle Questioni proposte, scrisse che “il tranello, invero piuttosto ingenuo, per quanto accentuato dalla sagace scelta dei dati” è facilmente individuabile se si osserva che in effetti il primo mercante entra in Parigi con 59 barili e il secondo con 18. La scelta delle incognite del problema conduce dunque a indicare con x il “diritto di entrata”, cioè il dazio che grava su ciascun barile, e con y il prezzo di un barile. Ne consegue il sistema:

Da cui x = 10 e y = 110 ove le somme sono espresse in franchi.

La rilevanza didattica del problema non sta dunque nella scelta delle incognite, che la traccia sembra esigere in modo esplicito, quanto piuttosto nella esatta interpretazione della situazione di contesto e nella sua traduzione nel linguaggio delle equazioni. Interessante poi il contesto storico del “dazio” per quanto eliminabile con altre più attuali riformulazioni.