Equazioni funzionali e didattica della matematica
Cosa sono le equazioni funzionali e perché sono importanti nella didattica della matematica. Le funzioni lineare, esponenziale, potenza e logaritmo introdotte a partire da equazioni funzionali. L’importanza delle equazioni funzionali nella didattica è stata così sottolineata da Bruno Rizzi:
«Volendo seguire nell’insegnamento vie che, essendo naturali, sono anche le più istruttive e gradevoli, sembra opportuno raccomandare che alle equazioni funzionali si riservi non solo maggiore attenzione e maggiore spazio (in ogni grado dell’insegnamento) ma anche un ruolo fondamentale, presentandole spesso come punto di partenza per definizioni e trattazioni».
Il passo è tratto da un articolo che Bruno Rizzi pubblicò sul numero 4/1973 del Periodico di Matematiche e dedicò alla “interpretazione di alcune equazioni funzionali”. Quali? Le quattro seguenti:
f (a+b) = f (a) + f (b) f (a+b) = f (a)· f (b) f (a· b) = f (a) · f (b) f (a· b) = f (a) + f (b)
Esse esprimono le proprietà di cui godono, rispettivamente, le fondamentali funzioni elementari: lineare, esponenziale, potenza e logaritmo; possono pertanto costituire il punto di partenza per introdurle nell’insegnamento.
La prima equazione comporta:
f (0+1) = f (0) + f (1) cioè f (0) = 0
f (1+1)= f (1) + f (1) cioè f (2) = 2f (1)
f (2+1)= f (2) + f (1) cioè f (3) = 3f (1)
Continuando, si potrà provare che f (n) = n· f(1) ed anche f (1/n) = f (1)/n in quanto deve risultare n·f(1/n) = f (1) e di conseguenza
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