Test di Bertoldino-parte 2: l’avete risolto?

Il  Test di Bertoldino è una collezione di problemi elementari  per i quali la risposta giusta non è quella che viene in mente per prima. Ho scelto il nome “Bertoldino” ispirandomi al racconto Le piacevoli et ridicolose simplicità di Bertoldino di Giulio Cesare Croce, del 1608.
Questo test dovrebbe aiutarci a non cascare ingenuamente in una trappola elementare del problem solving. Quale trappola? Beh, quando si risolvono problemi matematici bisognerebbe tenere sempre accesi il ragionamento e la consapevolezza. Invece gli alunni spesso cercano subito schemi da applicare alla situazione. Ci casco anch’io talvolta e credo che sia capitato a tutti noi, anche con problemi semplici.
Quindi la trappola è: applicare istintivamente uno schema risolutivo sbagliato senza esaminare la situazione.

La mia collezione – parte 2

Qui di seguito, riporto la seconda parte della mia collezione, che fa seguito alla prima già pubblicata con le sue relative soluzioni.
Nella mia collezione ci sono i problemi che preferisco, tratti e rielaborati dalle raccolte di Paolina Quarra e Tanya Khovanova, dai social networks e da idee che mi sono venute lavorando a scuola con i miei alunni.
Cari amici, se conoscete qualche problema di questo tipo, vi prego di inviarmelo! Grazie!
Aggiorno periodicamente Il test di Bertoldino sul sito BASE Cinque, da cui è tratto questo articolo.

Se 100 pagine di un libro pesano 100 grammi, quanto pesa un foglio di quel libro?
Il 100% dei pesci che si trovano in un acquario sono pesci rossi. Togli il 10% dei pesci rossi.Quale percentuale di pesci rossi contiene ora l’acquario?
Due amici fanno una passeggiata nel parco e trovano 20 € per terra.Quanti soldi avrebbero trovato se fossero stati in quattro?
Due ciclisti corrono alla velocità di 30 km/h.Qual è la velocità di un ciclista?
Sofia ha 15 anni.Quanti anni avrebbe se fosse nata 5 anni fa?
Al mio cane Tobia piacciono i libri. Questa mattina ha portato 3 libri nella sua cuccia e oggi ne ha portati altri 2.Quanti libri leggerà Tobia questa notte?
Marco e Angela hanno 5 figli maschi. Ciascun figlio maschio ha una sorella.Quanti figli hanno in tutto Marco e Angela?
Trenta bambini si apprestano a disegnare. Ciascuno di essi disegna su un foglio una mela rossa, poi la cancella e disegna al suo posto una pera gialla.Quanti frutti hanno disegnato i bambini?
Se un etto di spaghetti cuoce in 7 minuti, quanto tempo ci vuole per cuocerne due etti?
Antonio conosce 12 nomi da donna, Bruno ne conosce 9.Insieme quanti ne conoscono?

Foto cover: Dilok Klaisataporn / Shutterstock

Il  Test di Bertoldino è una collezione di problemi elementari  per i quali la risposta giusta non è quella che viene in mente per prima. Ho scelto il nome “Bertoldino” ispirandomi al racconto Le piacevoli et ridicolose simplicità di Bertoldino di Giulio Cesare Croce, del 1608.
Questo test dovrebbe aiutarci a non cascare ingenuamente in una trappola elementare del problem solving. Quale trappola? Beh, quando si risolvono problemi matematici bisognerebbe tenere sempre accesi il ragionamento e la consapevolezza. Invece gli alunni spesso cercano subito schemi da applicare alla situazione. Ci casco anch’io talvolta e credo che sia capitato a tutti noi, anche con problemi semplici.
Quindi la trappola è: applicare istintivamente uno schema risolutivo sbagliato senza esaminare la situazione.
Vediamo tre esempi.

1. Un problema apparentemente di tipo additivo: pesci rossiIl 100% dei pesci che si trovano in un acquario sono pesci rossi. Togli il 10% dei pesci rossi.Quale percentuale di pesci rossi contiene ora l’acquario?Si parla di togliere qualcosa perciò il primo pensiero va all’operazione di sottrazione e la risposta sarebbe 90%. Ma questo schema  mentale è sbagliato.La percentuale di pesci rossi nell’acquario è sempre il 100%.
2. Un problema apparentemente di tipo moltiplicativo: quanti figli?Marco e Angela hanno 5 figli maschi. Inoltre, ciascun figlio maschio ha una sorella.Quanti figli hanno in tutto Marco e Angela?Si parla di una sorella per ciascuno dei figli maschi perciò il primo pensiero va all’operazione di moltiplicazione e la risposta sarebbe 10 figli in tutto. Ma anche in questo caso lo schema mentale è sbagliato.I figli sono in tutto 6 dei quali 5 maschi e 1 femmina.
3. Un problema ingannevole sull‘unione di insiemi: collezionatoriIn una classe, 15 alunni collezionano figurine, 5 alunni collezionano biglie e i restanti 6 alunni non collezionano nulla.Quanti sono in tutto gli alunni della classe?Gli alunni della classe sono inseriti in tre insiemi perciò il primo pensiero va all’unione di insiemi e quindi alla somma delle loro cardinalità e la risposta sarebbe 26 alunni in tutto.Purtroppo questo schema mentale è sbagliato perché vale solo quando gli insiemi sono disgiunti. Nella situazione descritta potrebbero esistere alunni che fanno due collezioni, sia di biglie sia di figurine.Quindi i dati sono insufficienti per rispondere, oppure si può dire che la classe potrebbe essere formata da 21 a 26 alunni.

I problemi capziosi di Paolina Quarra

La prima idea di questa raccolta risale a Paolina Quarra che faceva parte del numeroso gruppo di collaboratrici e collaboratori del matematico Giuseppe Peano negli anni 1913-1930.
Paolina Quarra pubblicò la sua raccolta nell’articolo Problemi capziosi, Bollettino di Matematica (A. Conti), 1919. L’articolo era destinato agli insegnanti di matematica della scuola di base con lo scopo di rendere le lezioni dilettevoli e sollevare la mente affaticata dei giovani servendosi di problemi interessanti e anche di qualche giochetto matematico.
Peano riprese successivamente alcuni problemi capziosi di Quarra e li inserì nel suo libretto Giochi di aritmetica e problemi interessanti, Paravia, Torino, 1924.

I trick problems di Tanya Khovanova

Veniamo ora a tempi più attuali.
Tanya Khovanova è una matematica freelance e ricercatrice presso il Dipartimento di Matematica del MIT.
Anche lei attribuisce un alto valore didattico a questo tipo di problemi. Li chiama trick problems e ne mantiene da anni una collezione che ogni tanto aggiorna sul suo blog personale: Tanya Khovanova’s Math Blog.
Una lettura fondamentale è il suo articolo Tricky Arithmetic, 2012, disponibile su arXiv.

La mia collezione – parte 1

Finalmente, qui di seguito riporto la mia collezione, che contiene i problemi che preferisco, tratti e rielaborati dalle raccolte che ho citato sopra, dai social networks e da idee che mi sono venute lavorando a scuola con i miei alunni. Siccome è molto ampia, la pubblicheremo suddivisa in più parti, fornendo le rispettive soluzioni a distanza di una settimana.
Cari amici, se conoscete qualche problema di questo tipo, vi prego di inviarmelo! Grazie!
Aggiorno periodicamente Il test di Bertoldino sul sito BASE Cinque, da cui è tratto questo articolo.

Dal giornalaioSofia è andata dal giornalaio con 5 monete da 1 € in tasca per comprare il suo giornalino preferito.Il giornalaio le chiede 2,50 €.Quanto ottiene Sofia di resto?
Biglietti numeratiSu un tavolo ci sono dei biglietti numerati da 10 a 30.Entrano alcuni ragazzi e ciascuno prende un biglietto.Alla fine rimangono 3 biglietti sul tavolo.Quanti sono i ragazzi?
Giocatori in filaAlcuni giocatori di pallacanestro sono in fila, disposti in ordine di altezza.Se partiamo dal più alto, Andrea si trova all’11° posto della fila.Se invece partiamo dal più basso, Andrea si trova al 9° posto.Quanti sono i giocatori in fila?
Somma delle etàQuest’anno, la somma delle età di Greta, Sofia e Martina è 29 anni.Quale sarà la somma delle loro età l’anno prossimo?
Mezzo bicchiereUn bicchiere pieno d’acqua pesa 200 grammi.Quanto pesa il bicchiere pieno a metà?
CollezionatoriIn una classe, 15 alunni collezionano figurine, 5 alunni collezionano biglie e i restanti 6 alunni non collezionano nulla.Quanti sono in tutto gli alunni della classe?
Sette figliUna donna ha 7 figli e metà di loro sono maschi.Com’è possibile?
Due moneteHo in tasca due monete la cui somma è di 3 euro. Una delle monete non è una moneta da 2 euro.Quali sono le monete?
Sottrarre 8Quante volte si può sottrarre 8 da 24?
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Foto cover: Dilok Klaisataporn / Shutterstock