Test di Bertoldino-parte 3

La settimana scorsa vi ho proposto la terza parte del  Test di Bertoldino, una collezione di problemi elementari  per i quali la risposta giusta non è quella che viene in mente per prima. Ho scelto il nome “Bertoldino” ispirandomi al racconto Le piacevoli et ridicolose simplicità di Bertoldino di Giulio Cesare Croce, del 1608.
Questo test dovrebbe aiutarci a non cascare ingenuamente in una trappola elementare del problem solving. Quale trappola? Beh, quando si risolvono problemi matematici bisognerebbe tenere sempre accesi il ragionamento e la consapevolezza. Invece gli alunni spesso cercano subito schemi da applicare alla situazione. Ci casco anch’io talvolta e credo che sia capitato a tutti noi, anche con problemi semplici.
Quindi la trappola è: applicare istintivamente uno schema risolutivo sbagliato senza esaminare la situazione.

La mia collezione – parte 3

Qui sotto riporto la terza parte della mia collezione, che fa seguito alla prima e alla seconda già pubblicate con le relative soluzioni 1 e 2.
Contiene i problemi che preferisco, tratti e rielaborati dalle raccolte di Paolina Quarra e Tanya Khovanova, dai social networks e da idee che mi sono venute lavorando a scuola con i miei alunni.
Cari amici, se conoscete qualche problema di questo tipo, vi prego di inviarmelo! Grazie!
Aggiorno periodicamente Il test di Bertoldino sul sito BASE Cinque, da cui è tratto questo articolo.

1) In una stalla ci sono 15 pecore. Scappano tutte tranne 5.Quante ne rimangono?
2) Hai 5 cioccolatini e ne mangi uno ogni mezz’ora.Quante ore ti durano i cioccolatini?
3) In un tamponamento a catena, per fortuna non grave, sono coinvolte 10 automobili.Quanti sono i paraurti danneggiati?
4) Stai partecipando a una gara ciclistica. A un certo punto superi il secondo.In quale posizione ti trovi?
5) Hai 15 euro in tasca e ne perdi 9.Cosa c’è nella tasca?
6) Stefano ha 7 bastoncini di varie lunghezze. Ne spezza uno a metà.Quanti bastoncini ha Stefano adesso?
7) Due mani hanno 10 dita.Quante dita hanno 5 mani?

Problemi non elementari

1) Patate disidratateImmaginiamo di avere 100 kg di patate, che contengono il 99% d’acqua. Supponiamo ora di farle disidratare, fin quando contengono il 98% d’acqua.Quanto è il nuovo peso?
2) Distanza dei paliI capi di un cavo lungo 80 metri, libero di pendere, sono fissati alle cime di due pali alti 50 metri: un capo è in cima a un palo, l’altro capo è in cima all’altro.A che distanza si devono mettere i due pali affinché il punto più basso del cavo sia esattamente a 10 metri da terra?

3) Quante “E” ci sono?IN QUESTA FRASE CI SONO DUE “Q”.Sei d’accordo? Ok.Sapresti scrivere allo stesso modo quante “E” ci sono?Nella frase seguente, sostituisci i puntini in modo ottenere una affermazione giusta. Scrivi il numero in lettere.IN QUESTA FRASE CI SONO … “E”.
4) ProbabilitàIn una famiglia ci sono due soli figli. Si sa che uno dei due è maschio.Qual è la probabilità che l’altro figlio sia femmina?(per semplicità supponiamo che la probabilità di avere un figlio maschio sia uguale a quella di avere una figlia femmina, cioè 50%)

Li avete risolti? Ecco le soluzioni!

1) In una stalla ci sono 15 pecore. Scappano tutte tranne 5.Quante ne rimangono?—5 (non 10)

2) Hai 5 cioccolatini e ne mangi uno ogni mezz’ora.Quante ore ti durano i cioccolatini?—2 ore (non 2 ore e mezza)

3) In un tamponamento a catena, per fortuna non grave, sono coinvolte 10 automobili.Quanti sono i paraurti danneggiati?—18 (non 20)

4) Stai partecipando a una gara ciclistica. A un certo punto superi il secondo.In quale posizione ti trovi?—secondo (non primo) 

5) Hai 15 euro in tasca e ne perdi 9.Cosa c’è nella tasca?—un buco (non 6 €)

6) Stefano ha 7 bastoncini di varie lunghezze. Ne spezza uno a metà.Quanti bastoncini ha Stefano adesso?—8 (non 6)

7) Due mani hanno 10 dita.Quante dita hanno 5 mani?—25 (non 50)

Problemi non elementari

1) Patate disidratateImmaginiamo di avere 100 kg di patate, che contengono il 99% d’acqua. Supponiamo ora di farle disidratare, fin quando contengono il 98% d’acqua.Quanto è il nuovo peso?—50 kg (non 99 o altro)

2) Distanza dei paliI capi di un cavo lungo 80 metri, libero di pendere, sono fissati alle cime di due pali alti 50 metri: un capo è in cima a un palo, l’altro capo è in cima all’altro.A che distanza si devono mettere i due pali affinché il punto più basso del cavo sia esattamente a 10 metri da terra?—I pali devono essere attaccati fra loro, cioè la distanza deve essere 0.

3) Quante “E” ci sono?IN QUESTA FRASE CI SONO DUE “Q”.Sei d’accordo? Ok.Sapresti scrivere allo stesso modo quante “E” ci sono?Nella frase seguente, sostituisci i puntini in modo ottenere una affermazione giusta. Scrivi il numero in lettere. IN QUESTA FRASE CI SONO … “E”.—Per esempio “TRE + DUE” oppure “INDISCUTIBILMENTE SEI” (non “TRE”)

4) ProbabilitàIn una famiglia ci sono due soli figli. Si sa che uno dei due è maschio.Qual è la probabilità che l’altro figlio sia femmina?(per semplicità supponiamo che la probabilità di avere un figlio maschio sia uguale a quella di avere una figlia femmina, cioè 50%)—75% (non 50%)Ci sono quattro modi possibili di avere due figli:MM – MF – FM – FFIl caso FF è escluso perciò ci sono 3 modi di avere due figli, uno dei quali sia maschio:MM – MF – FMSi vede che in 2 casi su 3 l’altro figlio è femmina, perciò la probabilità è 75%.

Illustrazioni: Gianfranco Bo – Foto cover: Dilok Klaisataporn / Shutterstock

Il  Test di Bertoldino è una collezione di problemi elementari  per i quali la risposta giusta non è quella che viene in mente per prima. Ho scelto il nome “Bertoldino” ispirandomi al racconto Le piacevoli et ridicolose simplicità di Bertoldino di Giulio Cesare Croce, del 1608.
Questo test dovrebbe aiutarci a non cascare ingenuamente in una trappola elementare del problem solving. Quale trappola? Beh, quando si risolvono problemi matematici bisognerebbe tenere sempre accesi il ragionamento e la consapevolezza. Invece gli alunni spesso cercano subito schemi da applicare alla situazione. Ci casco anch’io talvolta e credo che sia capitato a tutti noi, anche con problemi semplici.
Quindi la trappola è: applicare istintivamente uno schema risolutivo sbagliato senza esaminare la situazione.
Vediamo tre esempi.

1. Un problema apparentemente di tipo additivo: pesci rossiIl 100% dei pesci che si trovano in un acquario sono pesci rossi. Togli il 10% dei pesci rossi.Quale percentuale di pesci rossi contiene ora l’acquario?Si parla di togliere qualcosa perciò il primo pensiero va all’operazione di sottrazione e la risposta sarebbe 90%. Ma questo schema  mentale è sbagliato.La percentuale di pesci rossi nell’acquario è sempre il 100%.
2. Un problema apparentemente di tipo moltiplicativo: quanti figli?Marco e Angela hanno 5 figli maschi. Inoltre, ciascun figlio maschio ha una sorella.Quanti figli hanno in tutto Marco e Angela?Si parla di una sorella per ciascuno dei figli maschi perciò il primo pensiero va all’operazione di moltiplicazione e la risposta sarebbe 10 figli in tutto. Ma anche in questo caso lo schema mentale è sbagliato.I figli sono in tutto 6 dei quali 5 maschi e 1 femmina.
3. Un problema ingannevole sull‘unione di insiemi: collezionatoriIn una classe, 15 alunni collezionano figurine, 5 alunni collezionano biglie e i restanti 6 alunni non collezionano nulla.Quanti sono in tutto gli alunni della classe?Gli alunni della classe sono inseriti in tre insiemi perciò il primo pensiero va all’unione di insiemi e quindi alla somma delle loro cardinalità e la risposta sarebbe 26 alunni in tutto.Purtroppo questo schema mentale è sbagliato perché vale solo quando gli insiemi sono disgiunti. Nella situazione descritta potrebbero esistere alunni che fanno due collezioni, sia di biglie sia di figurine.Quindi i dati sono insufficienti per rispondere, oppure si può dire che la classe potrebbe essere formata da 21 a 26 alunni.

I problemi capziosi di Paolina Quarra

La prima idea di questa raccolta risale a Paolina Quarra che faceva parte del numeroso gruppo di collaboratrici e collaboratori del matematico Giuseppe Peano negli anni 1913-1930.
Paolina Quarra pubblicò la sua raccolta nell’articolo Problemi capziosi, Bollettino di Matematica (A. Conti), 1919. L’articolo era destinato agli insegnanti di matematica della scuola di base con lo scopo di rendere le lezioni dilettevoli e sollevare la mente affaticata dei giovani servendosi di problemi interessanti e anche di qualche giochetto matematico.
Peano riprese successivamente alcuni problemi capziosi di Quarra e li inserì nel suo libretto Giochi di aritmetica e problemi interessanti, Paravia, Torino, 1924.

I trick problems di Tanya Khovanova

Veniamo ora a tempi più attuali.
Tanya Khovanova è una matematica freelance e ricercatrice presso il Dipartimento di Matematica del MIT.
Anche lei attribuisce un alto valore didattico a questo tipo di problemi. Li chiama trick problems e ne mantiene da anni una collezione che ogni tanto aggiorna sul suo blog personale: Tanya Khovanova’s Math Blog.
Una lettura fondamentale è il suo articolo Tricky Arithmetic, 2012, disponibile su arXiv.

La mia collezione – parte 1

Finalmente, qui di seguito riporto la mia collezione, che contiene i problemi che preferisco, tratti e rielaborati dalle raccolte che ho citato sopra, dai social networks e da idee che mi sono venute lavorando a scuola con i miei alunni. Siccome è molto ampia, la pubblicheremo suddivisa in più parti, fornendo le rispettive soluzioni a distanza di una settimana.
Cari amici, se conoscete qualche problema di questo tipo, vi prego di inviarmelo! Grazie!
Aggiorno periodicamente Il test di Bertoldino sul sito BASE Cinque, da cui è tratto questo articolo.

Dal giornalaioSofia è andata dal giornalaio con 5 monete da 1 € in tasca per comprare il suo giornalino preferito.Il giornalaio le chiede 2,50 €.Quanto ottiene Sofia di resto?
Biglietti numeratiSu un tavolo ci sono dei biglietti numerati da 10 a 30.Entrano alcuni ragazzi e ciascuno prende un biglietto.Alla fine rimangono 3 biglietti sul tavolo.Quanti sono i ragazzi?
Giocatori in filaAlcuni giocatori di pallacanestro sono in fila, disposti in ordine di altezza.Se partiamo dal più alto, Andrea si trova all’11° posto della fila.Se invece partiamo dal più basso, Andrea si trova al 9° posto.Quanti sono i giocatori in fila?
Somma delle etàQuest’anno, la somma delle età di Greta, Sofia e Martina è 29 anni.Quale sarà la somma delle loro età l’anno prossimo?
Mezzo bicchiereUn bicchiere pieno d’acqua pesa 200 grammi.Quanto pesa il bicchiere pieno a metà?
CollezionatoriIn una classe, 15 alunni collezionano figurine, 5 alunni collezionano biglie e i restanti 6 alunni non collezionano nulla.Quanti sono in tutto gli alunni della classe?
Sette figliUna donna ha 7 figli e metà di loro sono maschi.Com’è possibile?
Due moneteHo in tasca due monete la cui somma è di 3 euro. Una delle monete non è una moneta da 2 euro.Quali sono le monete?
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Foto cover: Dilok Klaisataporn / Shutterstock