Esercizi guidati per calcolare facilmente il Minimo Comune Multiplo e il Massimo Comune Divisore di due o più numeri.
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Nel campo dell’algebra, il Massimo Comune Divisore (MCD.) e il minimo comune multiplo (mcm.), argomenti già trattati in precedenza che ti invito a rivedere per comprendere al meglio la lezione di oggi, sono concetti fondamentali che aiutano a semplificare e risolvere espressioni algebriche, inclusi i monomi. Questi concetti non solo hanno applicazioni pratiche nella risoluzione di problemi ma sono anche essenziali per comprendere la struttura dei numeri e delle espressioni algebriche.
Il Massimo Comune Divisore
Il Massimo Comune Divisore (MCD) di due o più monomi è il monomio di grado massimo che divide esattamente ogni monomio considerato. In altre parole, è il monomio con i coefficienti e gli esponenti più piccoli che può essere estratto da tutti i monomi dati.
Per calcolare il MCD è consigliabile seguire attentamente i seguenti passaggi:
calcolare il Massimo Comune Divisore dei coefficienti numerici: si trovano i divisori comuni dei coefficienti numerici dei monomi e si sceglie il più grande;
determinare la parte letterale: per ciascuna variabile comune a tutti i monomi, si sceglie quelle con l’esponente più piccolo. Se una variabile non appare in tutti i monomi, non viene considerata nel MCD.
Esempio: consideriamo adesso i monomi 12x3y2 e 18x2y4. Per trovare il MCD segui i prossimi passaggi:
realizza la scomposizione in fattori primi dei coefficienti numerici, ossia 22 * 3 per il 12, mentre per il 18 è 32 * 2. Prendendo i fattori con l’esponente minore il risultato sarà 3 * 2 = 6;
considera le variabili presenti in tutti i monomi e con l’esponente più piccolo che, nel caso corrispondente, sono x2 e y2;
In questo modo, il MCD di 12x3y2 e 18x2y4 è 6x2y2.
Il Minimo Comune Multiplo
Il minimo comune multiplo (mcm) di due o più monomi è il monomio di grado minimo che è divisibile esattamente da tutti i monomi considerati. In altre parole, è il monomio con i coefficienti e gli esponenti più grandi che può essere diviso da ogni monomio dato senza lasciare resto.
Per calcolare il minimo comune multiplo seguenti i successivi step:
calcola il mcm dei coefficienti numerici: si trovano i multipli comuni dei coefficienti numerici dei monomi e si sceglie il più piccolo;
determina la parte letterale: per ciascuna variabile presente in almeno uno dei monomi, si sceglie l’esponente più grande.
Esempio: riprendendo i monomi di prima possiamo applicare su di essi anche la nozione del minimo comune multiplo. Quindi:
realizza la scomposizione in fattori primi dei coefficienti numerici, ossia 22 * 3 per il 12, mentre per il 18 è 32 * 2. Prendendo i fattori con l’esponente maggiore il risultato sarà 32 * 22 = 36;
considera le variabili presenti in tutti i monomi e con l’esponente più grande che, nel caso corrispondente, sono x3 e y4;
In questo modo, il MCD di 12x3y2 e 18x2y4 è 36x3y4.
La scomposizione in fattori primi, argomento trattato in un articolo che ritrovi all’interno del nostro blog, ritorna utile prevalentemente nel calcolo del Massimo Comune Divisore (MCD), argomento trattato nel precedente articolo, e del minimo comune multiplo (mcm), che analizzeremo oggi passo dopo passo.
Qualora volessi rinfrescare un po’ la memoria, ti consiglio di consultare il post riservato al MCD in cui ritrovi la sua definizione e applicazione. Invece, per calcolare il minimo comune multiplo bisogna scomporre i numeri dati in fattori primi e moltiplicare fra loro tutti i fattori comuni e non comuni prendendoli una sola volta e con l’esponente più grande.
Cos’è il Minimo Comune Multiplo?
Il minimo comune multiplo di due o più numeri interi è il più piccolo multiplo comune a tutti i numeri considerati. In altre parole, è il più piccolo numero intero positivo che è divisibile per tutti i numeri dati.
Ad esempio, consideriamo i numeri 3 e 4. I multipli di 3 sono 3, 6, 9, 12, … e i multipli di 4 sono 4, 8, 12, 16, …. Il più piccolo numero che si trova in entrambe le liste è 12, quindi il mcm di 3 e 4 è 12.
Importanza del Minimo Comune Multiplo
Il concetto di mcm è importante in molteplici contesti matematici e applicazioni pratiche:
frazioni: per sommare o sottrarre frazioni con denominatori diversi, è necessario trovare il minimo comune multiplo dei denominatori per ottenere un denominatore comune;
equazioni e disequazioni: nell’algebra, il mcm viene utilizzato per semplificare equazioni o disequazioni contenenti frazioni;
divisione e frazioni decimali: il mcm è essenziale per convertire frazioni periodiche in frazioni decimali finite;
crittografia e sicurezza informatica: in crittografia, i calcoli con numeri primi e i loro multipli sono cruciali per creare chiavi di crittografia sicure, e il mcm gioca un ruolo importante in questo processo.
Come Calcolare il Minimo Comune Multiplo
Ci sono diversi metodi per calcolare il LCM:
metodo dei fattori primi: si scompongono i numeri dati in fattori primi e si prendono i fattori con le potenze più alte;
metodo della tabella: si crea una tabella di multipli per ciascun numero e si cerca il più piccolo numero che appare in tutte le tabelle;
metodo dell’algoritmo di Euclide: Si calcola il massimo comune divisore (MCD) utilizzando l’algoritmo di Euclide e si utilizza la relazione tra MCD e mcm: mcm, b) = (a * b) / MCD(a, b).
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