La circonferenza rettificata
Tra le costruzioni elementari ideate prima e dopo Lindemann, quella di Specht fornisce forse la migliore approssimazione della circonferenza rettificata. Un quesito proposto qualche settimana nel testo di una prova predisposta per le esercitazioni agli esami della maturità 2024 chiedeva:
In che cosa consiste il problema della quadratura del cerchio? Forse che non esiste un quadrato che sia equivalente ad un cerchio dato?
Ovviamente il problema non è di esistenza ma di costruibilità*. Poiché un cerchio di raggio r ha area πr2, il problema di costruire un quadrato con area uguale a quella di un dato cerchio di raggio unitario equivale a costruire come lato del quadrato richiesto un segmento di lunghezza √π.
Si potrà costruire questo segmento se e soltanto se è costruibile il numero π. Per quel che sappiamo sui numeri costruibili, dovrebbe cioè esistere un campo Ck, ottenuto con l’aggiunta successiva di radici quadrate di elementi di Q, al quale π appartenga. In altre parole π dovrebbe essere un numero algebrico perché tutti e soli i numeri costruibili sono algebrici. Così però non è: π è un numero trascendente e dunque non costruibile elementarmente.
La tecnica necessaria per dimostrare la trascendenza di π è dovuta a Charles Hermite il quale l’aveva utilizzata per dimostrare nel 1873 la trascendenza del numero e di Nepero. Con un metodo che è un’estensione di quello di Hermite, Carl Louis Ferdinand von Lindemann (1852 – 1939) riuscì a dimostrare la trascendenza di π nel 1882 e pose così fine alle annose questioni
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