Proprietà e particolarità dell’intersezione tra insiemi

L’unione tra insiemi, di cui abbiamo specificato definizione, simbolismo e applicazioni quotidiane nell’articolo precedente, dato il suo grande impiego in varie discipline, presenta numerose proprietà e particolarità da rispettare e conoscere, che verranno elencate tutte nel corso di quest’articolo.

Idempotenza

Attraverso il concetto di idempotenza, l’unione di un insieme con sé stesso è l’insieme stesso.

Simbolicamente: A ∪ A = A.

Commutatività

Con il concetto di commutatività, l’ordine degli insiemi non influisce sul risultato dell’unione.

Simbolicamente: A ∪ B = B ∪ A.

Associatività

Con la definizione di associatività, non importa come si raggruppano gli insiemi perché il risultato rimane invariato.

Simbolicamente: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).

Insieme universo

Nel momento in cui l’insieme universo contiene tutti gli insiemi, l’unione tra l’insieme universo e qualsiasi altro insieme sarà sempre uguale all’insieme universo.

Simbolicamente: A ∪ U = U.

Insieme vuoto

Nel momento in cui l’insieme vuoto non contiene alcun insieme, l’unione tra l’insieme vuoto e l’insieme A equivarrà all’insieme A.

Simbolicamente: A ∪ ∅ = A.

Insiemi disgiunti

Due insiemi sono detti insiemi disgiunti quando non hanno elementi in comune. L’unione tra essi include tutti gli elementi che fanno parte in entrambi.

Simbolicamente: A ∪ B.

Insiemi non disgiunti

Due insiemi sono detti insiemi non disgiunti quando questi hanno elementi in comune. L’unione tra essi rappresenta sia gli elementi che non sono in comune, riportando solo una volta gli elementi in comune.

Simbolicamente: A ∪ B = {x | x ∈ A o x ∈ B}.

Unione con un sottoinsieme

Qualora B sia sottoinsieme di A, l’unione tra A e B equivale all’insieme intero.

Simbolicamente: Se A ⊆ B, allora A ∪ B.

Unione tra due insiemi vuoti

Qualora bisognasse unire due insiemi vuoti, il risultato sarà sempre un insieme vuoto.

Simbolicamente: ∅ ∪ ∅ = ∅

La teoria degli insiemi è una delle fondamenta della matematica moderna, utilizzata per definire e analizzare le collezioni di oggetti. Una delle operazioni principali in questo ambito è la differenza tra insiemi, che consente di creare un nuovo insieme contenente gli elementi che appartengono a un insieme ma non a un altro. Anche questa è costituita da molte proprietà e particolarità, che esploreremo attentamente nel corso di quest’articolo.

Non commutativa

La differenza tra insiemi non è commutativa. Questo significa che in generale, l’ordine in cui gli insiemi vengono considerati cambia il risultato dell’operazione.

Simbolicamente: A – B ≠ B – A.

Non associativa

La differenza tra insiemi non è un’operazione associativa. Questo implica che la disposizione delle parentesi nelle operazioni multiple di differenza influisce sul risultato finale.

Simbolicamente: (A – B) – C ≠ (B – C) – A

Insieme vuoto

La differenza di un insieme A con l’insieme vuoto ∅ è A stesso.

Simbolicamente: A – ∅ = A.

La differenza di un insieme A con sé stesso equivale all’insieme vuoto ∅.

Simbolicamente: A – A = ∅.

La differenza di un insieme vuoto con l’insieme A equivale all’insieme vuoto.

Simbolicamente: ∅ – A = ∅.

Sottoinsieme

Qualora siano presenti due insiemi A e B, e A sia sottoinsieme di B, la differenza A – B equivale all’insieme vuoto, ma il risultato di B – A realizzerà un nuovo insieme contenente solo gli elementi presenti nell’insieme B ma non in quello A.

Simbolicamente: A – B = ∅B – A = {x | x ∈ B ma ∉ A}.

Insiemi disgiunti

Se due insiemi sono disgiunti, ovvero non hanno elementi in comune, la loro differenza è semplicemente l’insieme di partenza.

Simbolicamente: A – B = A; B – A = B.