Sul quesito 8 della straordinaria

Matematica 2024. Sul quesito 8 assegnato nella sessione straordinaria degli esami di Stato 2024. Il quesito 8 della prova straordinaria di settembre:

Accantono il “cappello” relativo ad un pensiero di Paolo Giordano, che con il quesito c’entra poco o nulla, e affronto il quesito:
«Si considerino la funzione f(x) = xp e la sua derivata (p – 1)-esima f p−1. Si può dimostrare che, se p è un numero primo, allora p divide f p−1 + 1. Verificare la correttezza di tale affermazione per tutti i numeri primi minori di 10.»
Si costata subito che la proposizione se p è un numero primo, allora p divide f p−1 + 1 è falsa.
Basta osservare che per p=2 si ha: f(x) = x2 e f′ = 2x, per cui f′ + 1 = 2x + 1 e questo binomio non è certamente divisibile per 2.
Più in generale, si dimostra che è: f p−1 + 1 = p! x + 1 e si capisce che il binomio non è divisibile per p.
Ora, non so come mai sia stato proposto un quesito “sbagliato”; probabilmente un attimo di distrazione da parte dell’autore. E non sarò certo io a criticarlo per questo, considerato che anche a me è capitato in passato di prendere qualche cantonata.
Ad ogni buon conto, ipotizzo che la traccia corretta dovesse essere la seguente:
Si considerino la funzione f(x) = x p−1 e la sua derivata (p – 1)-esima f p−1. Si può dimostrare che, se p è un numero primo, allora p divide f p−1 + 1.

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