Un artificio algebrico che funziona

Didattica della matematica. La formula risolutiva dell’equazione di secondo grado ottenuta con il metodo di Eulero.

L’artificio “che funziona” è la sostituzione x=u+v utilizzata dagli algebristi del Cinquecento per risolvere le equazioni di terzo grado e di grado più elevato. È su tale artificio, con l’aggiunta di un’altra certa dose di virtuosismo algebrico, che si basa anche il metodo di Eulero che consiste poi nell’identificare le due equazioni di uguale grado che si ottengono dalla sostituzione. L’esempio che segue è l’applicazione del metodo di Eulero all’equazione completa di secondo grado (a,b,c≠0):

ax2+bx + c = 0   (1)

Se si pone x = u + v, si ha anche che v = x – u  e, elevando al quadrato:

x2= u2+2uv+ v2 = u (u + 2v) + v2

che tenendo conto di 2v=2(x – u) si può scrivere: x2 = u (u + 2x – 2u) + v2  ovvero:

x2 – 2ux + u2– v2 = 0 , cioè

ax2 -2aux + a(u2– v2) = 0     (2)

Dalla identificazione di (1) con (2) segue che:

u = -b/2a  e  u2-v2 = c/a

il che porta a:

cioè la formula risolutiva dell’equazione (1) ottenuta seguendo una via diversa, insolita. Diversa da quella che abitualmente s’insegna nel primo biennio della scuola secondaria di secondo grado e che consiste nel trasformare la (1), moltiplicandola per 4a e aggiungendo ad ambo i membri b2, nel quadrato di un binomio

(2ax + b)2= b2 – 4ac

Gerolamo Cardano (1501-1576)

In sostanza un modo di

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