Un triangolo, preso ad arbitrio, è piuttosto ottusangolo o acutangolo?

Matmedia 26/10/2024

Nel triangolo equilatero di altezza π, pensato come spazio di tutte le possibili forme di triangoli, l’area occupata dai triangoli ottusangoli è tre volte quella degli acutangoli. Tutti dovrebbero sapere che: «In ogni triangolo equilatero la somma delle distanze di un punto interno dai lati è costante e uguale all’altezza del triangolo».

È una proprietà molto importante, nota come teorema di Viviani. A livello didattico costituisce un buon esempio di invariante da cogliere elementarmente anche perché il teorema è un caso particolare di una proposizione più generale ( teorema di Viviani generalizzato):

«Se da un punto, interno ad un poligono equilatero, si conducono segmenti fino ad intercettare i lati, uno per ciascun lato e tutti ugualmente inclinati sui rispettivi lati, la somma di tutti questi segmenti è indipendente dalla posizione di quel punto, e, per un dato poligono, essa è minima quando i segmenti sono perpendicolari ai lati»*

Le figure seguenti esprimono due diverse dimostrazioni del teorema:

Nella prima, l’area del triangolo ABC è somma dei tre triangoli di altezze u, s e t per cui u+v+t è, necessariamente, uguale all’altezza di ABC. Nella seconda, i segmenti GK, IL e CN sono uguali rispettivamente a DM, FM e ME ed hanno per somma CP.

Il teorema e la sua visualizzazione suggeriscono che se l’altezza del triangolo è uguale a π allora le distanze u, s, t si possono leggere come le misure in radianti dei tre angoli α, β e γ che, a meno di similitudini, individuano uno e

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Tags: Bruno de Finetti, continuo, didattica, Enciclopedia Matematica, Ernesto Cesaro, Insegnamento, ottusangolo, probabilità, teorema di Viviani, triangolo, Vincenzo Viviani

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Le proprietà dell’addizione: Schede Didattiche Semplificate

Nell’insegnamento della matematica nella scuola primaria, le proprietà dell’addizione giocano un ruolo fondamentale nello sviluppo delle competenze matematiche di base degli studenti.
Comprendere le proprietà dell’addizione non solo aiuta i bambini a diventare più abili nel calcolo, ma fornisce loro anche una base solida per affrontare concetti più complessi in matematica. Tuttavia, insegnare queste proprietà in modo efficace può essere una sfida per gli insegnanti. È qui che entrano in gioco le schede didattiche semplificate.
Le schede didattiche semplificate sono risorse preziose che forniscono agli insegnanti strumenti pratici per rendere l’apprendimento delle proprietà dell’addizione più accessibile, coinvolgente e comprensibile per gli studenti della scuola primaria. In questo articolo, esploreremo l’importanza delle proprietà dell’addizione nell’ambito della matematica scolastica, presenteremo esempi pratici di come utilizzare le schede didattiche semplificate e forniremo suggerimenti utili per rendere le lezioni ancora più efficaci ed interessanti.
A fine articolo potrete scaricare gratuitamente in formato PDF “Le proprietà dell’addizione: Schede Didattiche Semplificate, Matematica per la Scuola Primaria“.
Indice

Importanza delle Proprietà dell’Addizione
Le proprietà dell’addizione, che includono la proprietà commutativa, associativa e dell’elemento neutro, sono fondamentali per la comprensione dei concetti matematici e per lo sviluppo delle abilità di calcolo degli studenti. Queste proprietà stabiliscono regole e relazioni tra i numeri che aiutano gli studenti a semplificare i calcoli e a risolvere problemi in modo più efficiente.
Utilizzo delle Schede Didattiche Semplificate

Proprietà Commutativa: Le schede didattiche possono illustrare la proprietà commutativa attraverso esempi visivi e pratici, incoraggiando gli studenti a scambiare l’ordine dei numeri in un’addizione senza cambiare il risultato.
Proprietà Associativa: Le schede didattiche possono presentare la proprietà associativa attraverso attività interattive che coinvolgono il raggruppamento di numeri in diverse combinazioni e dimostrano che il risultato finale rimane lo stesso.
Proprietà dell’Elemento Neutro: Le schede didattiche possono spiegare la proprietà dell’elemento neutro mostrando che l’aggiunta di zero a qualsiasi numero non cambia il valore di quel numero.

Approfondimenti sulle Proprietà dell’Addizione
Per una comprensione più approfondita delle proprietà dell’addizione, è importante coinvolgere gli studenti in attività pratiche e problemi che richiedono l’applicazione di queste proprietà in contesti reali o immaginari. Gli insegnanti possono utilizzare giochi, sfide e attività creative per mantenere gli studenti impegnati e motivati nell’apprendimento delle proprietà dell’addizione.
Suggerimenti Utili

Incorporare le proprietà dell’addizione in giochi e attività divertenti per rendere l’apprendimento più coinvolgente.
Utilizzare esempi pratici e situazioni della vita quotidiana per illustrare l’applicazione delle proprietà dell’addizione.
Fornire agli studenti opportunità di pratica e di applicazione delle proprietà dell’addizione attraverso compiti e attività di risoluzione dei problemi.

Potete scaricare e stampare gratuitamente in formato PDF “Le proprietà dell’addizione: Schede Didattiche Semplificate, Matematica per la Scuola Primaria“, basta cliccare sul pulsante ‘Download‘:

Domande Frequenti su ‘Le proprietà dell’addizione’: Matematica per la Scuola Primaria

Quali sono le proprietà dell’addizione?
Le proprietà dell’addizione includono la proprietà commutativa, la proprietà associativa e la proprietà dell’elemento neutro.

Cos’è la proprietà commutativa dell’addizione?
La proprietà commutativa dell’addizione afferma che l’ordine in cui si aggiungono due numeri non influisce sul risultato. Ad esempio, 3 + 5 è uguale a 5 + 3.

Cos’è la proprietà associativa dell’addizione?
La proprietà associativa dell’addizione afferma che l’ordine in cui si aggiungono tre o più numeri non influisce sul risultato. Ad esempio, (2 + 3) + 4 è uguale a 2 + (3 + 4).

Cos’è la proprietà dell’elemento neutro dell’addizione?
La proprietà dell’elemento neutro dell’addizione afferma che sommando zero a qualsiasi numero, il numero rimane invariato. Ad esempio, 5 + 0 è uguale a 5.

Perché è importante insegnare le proprietà dell’addizione nella scuola primaria?
È importante insegnare le proprietà dell’addizione perché forniscono ai bambini una base solida per comprendere meglio le relazioni tra i numeri e sviluppare strategie di calcolo più efficienti.

Come vengono insegnate le proprietà dell’addizione agli studenti della scuola primaria?
Le proprietà dell’addizione possono essere insegnate attraverso attività pratiche, esempi visivi e interattivi, e problemi che coinvolgono l’applicazione delle proprietà in situazioni reali o immaginarie.

Quali sono alcuni esempi pratici di come le proprietà dell’addizione possono essere utilizzate nella vita quotidiana?
Le proprietà dell’addizione sono utilizzate nella vita quotidiana in situazioni come il calcolo del cambio in una transazione, la determinazione del tempo trascorso sommando intervalli di tempo, e la pianificazione di eventi o attività che coinvolgono la somma di quantità o numeri.

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SostegnO 2.0 16/04/2024

Triangoli con area e perimetro uguali

L’insegnamento dinamico della geometria come precetto didattico. Esempi di triangoli di uguale area e uguale perimetro ma non congruenti.
“Lo studio della geometria trarrà vantaggio da una presentazione non statica delle figure, che ne rende evidenti le proprietà nell’atto del loro modificarsi”.
Didatticamente una verità e una raccomandazione. Come verità, è parte integrante della secolare esperienza d’insegnamento della geometria e come raccomandazione è ricordata nei programmi di matematica della scuola media, sia del 1963 che del 1979. Anche le Indicazioni Nazionali del 2012 la rinnovano, anche se non con la stessa enfasi e precisione. In ogni caso si tratta di una raccomandazione che trova ampi campi di sperimentazione e tra queste, molto efficaci, le attività incentrate su: Semplici problemi di isoperimetria ed equiestensione.
L’efficacia sta nello stesso aiuto prestato alla formazione dei concetti. È indubitabile infatti che i ragazzi giungano ad una migliore acquisizione dei concetti di area e di perimetro mettendoli a confronto, cioè facendo loro vedere che figure di perimetro uguale (isoperimetriche) possono avere aree diverse, e, viceversa, figure di area uguale, perimetri diversi. Un tema che è uno dei cavalli di battaglia dell’insegnamento dinamico di Emma Castelnuovo che l’ha ben evidenziato in tante esperienze realizzate a scuola e descritte nei suoi libri.
In quest’opera di variazioni e di confronti, può presentarsi il dubbio: se due o più figure piane hanno uguali perimetri e uguali aree, sono necessariamente congruenti?
Limitando il discorso ai triangoli isosceli:
Se due triangoli isosceli hanno lo stesso perimetro e la stessa area, sono congruenti?*
La risposta è negativa. La prova inconfutabile è l’esistenza della coppia seguente:

A’ (x) è maggiore di zero quando p2– 3px è maggiore di zero, cioè quando x < p/3, ed è A‘ (x)=0 quando x=p/3. In x=p/3 la funzione x → A(x) presenta un massimo. Poiché per x = p/3 il triangolo è equilatero, ne discende che l’area è massima quando il triangolo è equilatero. In questo caso l’area è: . Il grafico di A(x) per p=98 è quello indicato a lato e illumina sulla questione: ogni retta y = k , con k è compreso tra 0 e 462,07 , lo taglia in due punti distinti di ascisse x1 e x2,. Ciò prova che, in generale, esistono esattamente due triangoli isosceli, non congruenti, di perimetro p ed area k, uno di base x1, l’altro di base x2. Lo stesso risultato si sarebbe ottenuto affrontando il problema con una diversa scelta della variabile: ad esempio, invece di porre la base b = x, ponendo il lato l = x o anche considerando come variabile del problema l’angolo alla base e risolvendo per via trigonometrica. Osservazione a margine. La coppia di triangoli isosceli di perimetro 98 e area 420 indicata sopra ha i lati che hanno misure intere e con molta probabilità non è la sola coppia con tale particolarità. Una particolarità, quella di avere lati espressi da numeri interi, che ha sempre attratto i matematici e perciò dato il via a problemi anche interessanti. Ad esempio Charles Dodgson, il “doppio” di Lewis Carroll, nei suoi Diaries racconta di aver passato una notte insonne pensando alle soluzioni di un problema che gli era stato posto da amici: trovare tre triangoli rettangoli con lati espressi da numeri interi di uguale area. Dodgson riuscì a trovarne solo due: (12, 35, 37) e (20, 21, 29) che sono le metà dei triangoli isosceli prima considerati. Una terna siffatta, quella più piccola, si trova nell’opera del 1907, The Canterbury Puzzles , di Henry Ernest Dudeney. Sono i triangoli (24, 70, 74), (40, 42, 58), (15, 112, 113), i primi due sono ottenuti raddoppiando le dimensioni di quelli trovati da Dodgson. Hanno tutti la stessa area. NOTA *Emilio Ambrisi, Triangoli con uguale perimetro e uguale area, in Periodico di Matematiche 1-2/1985 Laureato in matematica, docente e preside e, per un quarto di secolo, ispettore ministeriale. Responsabile, per il settore della matematica e della fisica, della Struttura Tecnica del Ministero dell'Istruzione. Segretario, Vice-Presidente e Presidente Nazionale della Mathesis dal 1980 in poi e dal 2009 al 2019, direttore del Periodico di Matematiche. Visualizza tutti gli articoli

Matmedia 13/11/2022

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