Un triangolo, preso ad arbitrio, è piuttosto ottusangolo o acutangolo?

Nel triangolo equilatero di altezza π, pensato come spazio di tutte le possibili forme di triangoli, l’area occupata dai triangoli ottusangoli è tre volte quella degli acutangoli. Tutti dovrebbero sapere che: «In ogni triangolo equilatero la somma delle distanze di un punto interno dai lati è costante e uguale all’altezza del triangolo».

È una proprietà molto importante, nota come teorema di Viviani. A livello didattico costituisce un buon esempio di invariante da cogliere elementarmente anche perché il teorema è un caso particolare di una proposizione più generale ( teorema di Viviani generalizzato):

«Se da un punto, interno ad un poligono equilatero, si conducono segmenti fino ad intercettare i lati, uno per ciascun lato e tutti ugualmente inclinati sui rispettivi lati, la somma di tutti questi segmenti è indipendente dalla posizione di quel punto, e, per un dato poligono, essa è minima quando i segmenti sono perpendicolari ai lati»*

Le figure seguenti esprimono due diverse dimostrazioni del teorema:

Nella prima, l’area del triangolo ABC è somma dei tre triangoli di altezze u, s e t per cui u+v+t è, necessariamente, uguale all’altezza di ABC. Nella seconda, i segmenti GK, IL e CN sono uguali rispettivamente a DM, FM e ME ed hanno per somma CP.

Il teorema e la sua visualizzazione suggeriscono che se l’altezza del triangolo è uguale a π allora le distanze u, s, t si possono leggere come le misure in radianti dei tre angoli α, β e γ che, a meno di similitudini, individuano uno e

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