Il grado e le caratteristiche di un monomio

Nel mondo dell’algebra, i monomi sono le unità di base che formano espressioni e polinomi più complessi. Il concetto di grado di un monomio è fondamentale per comprendere la struttura e le proprietà di questi elementi algebrici. Conoscere il grado e le caratteristiche di un monomio, quindi, non permette solo di navigare con sicurezza tra le operazioni algebriche, ma soprattutto di affrontare con competenza le sfide matematiche. In questo articolo esploreremo insieme come il grado di un monomio e le sue altre proprietà definiscono il suo ruolo e la sua importanza nel contesto matematico.

Grado complessivo di un monomio

Dicesi grado complessivo di un monomio la somma degli esponenti della parte letterale.

Ecco come determinare il grado di un monomio:

  1. grado di un monomio con una variabile: se il monomio è 4x3, il grado è semplicemente l’esponente della variabile x, ossia 3;
  2. grado di un monomio con due variabili: per un monomio come 5x2y3, il grado è la somma degli esponenti delle variabili, ossia 2 + 3 = 5;
  3. monomio costante: un monomio costante, ossia che non contiene variabili, come 7, ha un grado equivalente a 0 perché non ha esponenti da sommare.

Grado rispetto alla lettera di un monomio

Dicesi grado rispetto alla lettera di un monomio l’esponente maggiore di una lettera.

Ecco come determinare il grado di un monomio:

  1. grado di un monomio con una variabile: se il monomio è 4x3, il grado è semplicemente l’esponente della variabile x, ossia 3;
  2. grado di un monomio con due variabili: per un monomio come 5x2y3, il grado è l’esponente maggiore in assoluto, ossia 3;
  3. monomio costante: un monomio costante, ossia che non contiene variabili, come 7, ha un grado equivalente a 0 perché non ha variabili con esponenti.

Utilità del grado dei monomi

Conoscere il grado di un monomio è essenziale per vari aspetti dell’algebra, inclusi:

  1. ordinamento dei polinomi: quando si ordinano i polinomi in base al grado, è importante determinare il grado dei monomi che li compongono;
  2. semplificazione di espressioni algebriche: la comprensione del grado aiuta nella combinazione e semplificazione di polinomi e monomi;
  3. soluzioni di equazioni: il grado dei monomi è rilevante quando si risolvono equazioni polinomiali e si analizzano le loro soluzioni.

Caratteristiche dei monomi

  1. Monomi uguali: -3a2b5; -3a2 * (b)5;
  2. monomi opposti: in cui cambia solo il segno, come -5xy2; 5xy2;
  3. monomi simili: in cui cambia solo il coefficiente, mentre la parte letterale resta costante: -5xy, 1/5xy; -66xy;
  4. monomio nullo: un monomio con un coefficiente di zero è chiamato monomio nullo e non contribuisce alla somma di altri monomi. Per esempio un monomio nullo è 0x7y.


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Il Massimo Comune Divisore (MCD) e il Minimo Comune Multiplo (mcm) di monomi

Nel campo dell’algebra, il Massimo Comune Divisore (MCD.) e il minimo comune multiplo (mcm.), argomenti già trattati in precedenza che ti invito a rivedere per comprendere al meglio la lezione di oggi, sono concetti fondamentali che aiutano a semplificare e risolvere espressioni algebriche, inclusi i monomi. Questi concetti non solo hanno applicazioni pratiche nella risoluzione di problemi ma sono anche essenziali per comprendere la struttura dei numeri e delle espressioni algebriche.

Il Massimo Comune Divisore

Il Massimo Comune Divisore (MCD) di due o più monomi è il monomio di grado massimo che divide esattamente ogni monomio considerato. In altre parole, è il monomio con i coefficienti e gli esponenti più piccoli che può essere estratto da tutti i monomi dati.

Per calcolare il MCD è consigliabile seguire attentamente i seguenti passaggi:

calcolare il Massimo Comune Divisore dei coefficienti numerici: si trovano i divisori comuni dei coefficienti numerici dei monomi e si sceglie il più grande;

determinare la parte letterale: per ciascuna variabile comune a tutti i monomi, si sceglie quelle con l’esponente più piccolo. Se una variabile non appare in tutti i monomi, non viene considerata nel MCD.

Esempio: consideriamo adesso i monomi 12x3y2 e 18x2y4. Per trovare il MCD segui i prossimi passaggi:

realizza la scomposizione in fattori primi dei coefficienti numerici, ossia 22 * 3 per il 12, mentre per il 18 è 32 * 2. Prendendo i fattori con l’esponente minore il risultato sarà 3 * 2 = 6;

considera le variabili presenti in tutti i monomi e con l’esponente più piccolo che, nel caso corrispondente, sono x2 e y2;

In questo modo, il MCD di 12x3y2 e 18x2y4 è 6x2y2.

Il Minimo Comune Multiplo

Il minimo comune multiplo (mcm) di due o più monomi è il monomio di grado minimo che è divisibile esattamente da tutti i monomi considerati. In altre parole, è il monomio con i coefficienti e gli esponenti più grandi che può essere diviso da ogni monomio dato senza lasciare resto.

Per calcolare il minimo comune multiplo seguenti i successivi step:

calcola il mcm dei coefficienti numerici: si trovano i multipli comuni dei coefficienti numerici dei monomi e si sceglie il più piccolo;

determina la parte letterale: per ciascuna variabile presente in almeno uno dei monomi, si sceglie l’esponente più grande.

Esempio: riprendendo i monomi di prima possiamo applicare su di essi anche la nozione del minimo comune multiplo. Quindi:

realizza la scomposizione in fattori primi dei coefficienti numerici, ossia 22 * 3 per il 12, mentre per il 18 è 32 * 2. Prendendo i fattori con l’esponente maggiore il risultato sarà 32 * 22 = 36;

considera le variabili presenti in tutti i monomi e con l’esponente più grande che, nel caso corrispondente, sono x3 e y4;

In questo modo, il MCD di 12x3y2 e 18x2y4 è 36x3y4.

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