Le identità numeriche

Un’equazione è una dichiarazione di uguaglianza tra due espressioni matematiche contenenti una o più variabili. Attraverso di esse è possibile modellare, risolvere e comprendere una vasta gamma di problemi, da quelli più semplici a quelli complessi che emergono nelle scienze fisiche, economiche e sociali. Questo articolo esplorerà le diverse tipologie di equazioni, i metodi per risolverle e le loro applicazioni pratiche.

Definizione

Un’equazione è un’uguaglianza matematica tra due espressioni algebriche che include una o più variabili. L’obiettivo principale nel risolvere un’equazione è trovare i valori delle variabili, detti soluzioni dell’equazione, che rendono vera l’uguaglianza.

Dicesi soluzione di un’equazione, quel valore che sostituito al posto dell’incognita trasforma l’equazione in un’identità numerica.

In forma generale, un’equazione può essere espressa come:

f (x) = g (x)

Dove f (x) e g (x) sono due espressioni che dipendono dalla variabile x.

Due equazioni si dicono uguali quando il primo e il secondo membro della prima equazione sono uguali alla seconda.

Due equazioni vengono dette equivalenti quando posseggono la stessa soluzione.

Il grado di un’equazione

Il grado di un’equazione tende ad informare del massimo numero di soluzione ben definite dall’equazione.

In base al loro grado, pervengono diverse tipologie di equazioni. Eccole in elenco:

equazioni lineari: equazioni di primo grado, ossia l’esponente maggiore che compare nelle variabili e equivale ad 1.

Forma generale: ax + b = 0;

Esempio: 3x + 2 = 8.

Risoluzione: si isolano le variabili da un lato e i termini costanti dall’altro cambiandone i segni quando necessario. Nell’esempio risulta 3x = 8 – 2, 3x = 6. Arrivati a questo punto il coefficiente della x diventa il denominatore del secondo membro, ottenendo in questo modo il risultato equivalente a 2.

Equazioni quadratiche: equazioni di secondo grado, quindi l’esponente maggiore che compare nelle variabili equivale a 2.

Forma generale: ax2 + bx + c = 0.

Esempio: x2 – 5x + 6 = 0.

Risoluzione: le equazioni quadratiche possono essere risolte mediante fattorizzazione o completamento del quadrato.

Equazioni polinomiali: equazioni con grado superiore al secondo.

Esempio: x3 – 4×2 + x + 6 = 0.

Risoluzione: la risoluzione può richiedere scomposizione in fattori, utilizzo del metodo di Ruffini, o approssimazioni numeriche.

Caratteristiche

Un’equazione può essere:

determinata: ha solo una soluzione;

indeterminata: ha infinite soluzioni e risulta 0x = 0;

impossibile: non ha soluzioni e risulta 0x = n.

Il concetto di uguaglianza è centrale in matematica, fungendo da fondamento per numerose operazioni e per la risoluzione di problemi complessi. Ma cosa significa realmente affermare che due espressioni numeriche sono uguali? Questa nozione di equilibrio tra espressioni e valori non solo è cruciale per l’algebra, ma permea l’intero campo della matematica. In questo articolo, esamineremo in dettaglio il concetto di uguaglianza, le sue proprietà principali e le varie applicazioni pratiche, rivelando come essa costituisca un elemento chiave per comprendere e risolvere problemi matematici.

Le uguaglianze sono anche il nuovo capitolo che siamo ben lieti di aprire all’interno del nostro blog. A nostro riguardo, sono tra le migliori parti che la matematica possa offrire, poiché ti permette di giocare facilmente con i numeri in modo da ottenere risultati identici.

Definizione

Un’uguaglianza è un’affermazione che due espressioni matematiche hanno lo stesso valore. Si rappresenta utilizzando il simbolo = (uguale). Tutto ciò che sta a sinistra dell’uguale prende nome di I membro, mentre tutto ciò che si trova a destra si chiama II membro. Un’uguaglianza può essere anche semplice, come nel caso di due numeri uguali, o più complessa, quando coinvolge espressioni algebriche o equazioni.

Esempio:

Uguaglianza semplice: 3 + 2 = 5;

Uguaglianza algebrica o complessa: y + 4 = 9

Proprietà delle uguaglianze

Le uguaglianze in matematica seguono alcune proprietà fondamentali che ne regolano l’uso:

proprietà riflessiva: qualsiasi quantità è uguale a sé stessa: a = a;

proprietà simmetrica: se una quantità è uguale a un’altra, allora l’altra è uguale alla prima: a = b;

proprietà transitiva: se una quantità è uguale a una seconda, e la seconda è uguale a una terza, allora la prima è uguale alla terza: se a = b e b = c, allora a = c;

proprietà additiva: se aggiungi la stessa quantità a entrambi i lati di un’uguaglianza, l’uguaglianza rimane valida: se a = b, allora a + c = b + c;

proprietà moltiplicativa: se moltiplichi entrambi i lati di un’uguaglianza per la stessa quantità, l’uguaglianza rimane valida: se a = b, allora a + c = b + c.

Tipi di uguaglianze

Le uguaglianze possono assumere forme diverse a seconda delle espressioni coinvolte:

uguaglianze numeriche: involgono numeri e sono sempre vere o false: 7 + 3 = 10;

uguaglianze algebriche: involgono variabili e possono essere vere per tutti i valori delle variabili (identità) o per determinati valori (equazioni): 2x + 3 = 7;

uguaglianze funzionali: espressioni che stabiliscono l’equivalenza tra due funzioni per ogni valore del loro dominio: f (x) = g (x).

Applicazioni quotidiane

Le uguaglianze sono utilizzate in moltissimi ambiti, come:

geometria: per stabilire relazioni tra segmenti, angoli, aree, e volumi;

fisica: per esprimere leggi fisiche, come la seconda legge di Newton f = ma;

informatica: per scrivere condizioni e controllare flussi logici nei programmi.

Per concludere le uguaglianze si dividono in Identità ed Equazioni, argomenti che tratteremo meglio nei prossimi due articoli che ti invito a non perdere.