Un’equazione buona per fare matematica
Un’equazione di quarto grado dipendente da un parametro. Un esercizio antico affrontato con gli strumenti della modernità.
Nella didattica della matematica è buona consuetudine proporre, di tanto in tanto, esercizi più impegnativi per saggiare le conoscenze degli studenti e guidarli in un lavoro collettivo di cooperazione alla ricerca di una o più vie risolutive.
L’esercizio che segue è un esempio di questo approccio: un’equazione di quarto grado a coefficienti parametrici, la cui risoluzione completa richiede intuito algebrico e capacità di analisi strutturale.
Classico nell’ambito dello studio dell’algebra, la sua soluzione è stata affrontata con entrambi gli strumenti, dell’algebra e dell’analisi, utilizzando anche i software GeoGebra e Wolfram, e con il contributo di ChatGPT, cui si devono:
Determinare per quali valori di ( beta ) l’equazione
[
x^4 + beta x^3 – 10x^2 + beta x + 1 = 0
]
ammette quattro radici reali.
Primo approccio: riconoscere la struttura del polinomio
Il polinomio è reciproco (o palindromo): i suoi coefficienti sono simmetrici rispetto al termine centrale. Questo implica che, se ( r ) è radice, anche ( frac{1}{r} ) lo è. Le radici quindi si presentano in coppie del tipo ( r, frac{1}{r}, s, frac{1}{s} ).
[
r cdot frac{1}{r}
