Un’equazione buona per fare matematica – Parte 2
Dalla simmetria alla sostituzione “cinquecentesca”, e un uso consapevole del moderno laboratorio grafico
Riprendiamo l’equazione quartica già esaminata nella Parte 1
[
x^4 + beta x^3 – 10x^2 + beta x + 1=0
] per mettere a fuoco perché compaiano certe soglie su (beta), come interpretarle graficamente in un’attività di classe e come risolvere il problema con una sostituzione, utilizzando cioè un’idea che, in varie forme, si ritrova già nella tradizione algebrica rinascimentale: trasformare l’equazione in una più semplice sfruttando simmetrie/invarianti.
Oltre al percorso che svilupperemo qui, esistono altre possibili strade teoriche: ad esempio lo studio qualitativo del grafico o l’uso del criterio di Budan–Fourier per stimare il numero di radici reali. Quest’ultimo, pur essendo un metodo elegante, risulta in questo caso più laborioso della via che seguiremo.
Perché compaiono le soglie su (beta)
Il polinomio è palindromo. Dividendo per (x^2) (per (xneq 0)) e ponendo
[
t = x+frac{1}{x},,
] si ha che
[
x^2+frac{1}{x^2}=t^2-2.
] Allora l’equazione diventa
[
left(x^2+frac{1}{x^2}right)+beta!left(x+frac{1}{x}right)-10=0
quadLongrightarrowquad
(t^2-2)+beta t-10=0
] cioè la quadratica in (t):
[
t^2+beta t-12=0.
] Le sue soluzioni sono
[
t_{1,2}=frac{-betapmsqrt{beta^2+48}}{2},qquad t_1t_2=-12.
]
Ora: (x) è reale se e solo se (t=x+tfrac1x) cade in ((-infty,-2]cup[2,+infty)) (classico: per (xinmathbb R), (x+tfrac1x) non può stare nell’intervallo ((-2,2))).
Dunque per ottenere quattro radici reali di (x) vogliamo che entrambi i valori (t_1,t_2) stiano fuori da ((-2,2)): uno (le -2) e l’altro (ge 2) (il prodotto è negativo).
Le soglie si leggono immediatamente verificando quando uno dei due (t) “tocca” (pm 2):
– imponendo (t=2) in (t^2+beta t-12=0): (4+2beta-12=0Rightarrow beta=4);
– imponendo (t=-2): (4-2beta-12=0Rightarrow beta=-4).
Quindi:
– se (|beta|4) uno dei due (t) cade in ((-2,2)) ⇒ fornisce
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