Altre vie per l’esercizio con le frazioni armoniche

Varianti e approfondimenti. Dal metodo dei coefficienti parziali alla simmetria, fino alla generalizzazione: altre strade per scoprire le stesse radici Sulla scorta di quanto ci ha segnalato la professoressa Adriana Lanza, riprendiamo l’equazione proposta in Un altro esercizio per legare algebra e analisi: [
frac{1}{x}+frac{1}{x-1}+frac{1}{x-2}+frac{1}{x-3}+frac{1}{x-4}+frac{1}{x-5}=0,
qquad xneq 0,1,2,3,4,5.
]

Nella sua nota la professoressa Lanza, che nell’ideale albo d’oro degli insegnanti di matematica e fisica occupa da tempo un posto d’onore, ha osservato quanto segue:

Algebra e analisi sono spesso relegate al ruolo di “cassette degli attrezzi” per risolvere problemi di varia natura e in questo caso è sufficiente utilizzare un software, eventualmente ad elaborazione grafico-simbolica. Nell’esercizio in questione algebra e analisi si supportano a vicenda e il centro di interesse non è il risultato ma la sfida della ricerca di una strategia risolutiva. Ai tempi di Besso si trattava di una vera e propria sfida tra gli appassionati di matematica.

Fine a se stessa? Non proprio. Forse vale la pena notare che l’IA sfrutta il patrimonio intellettuale umano, accumulato nel corso dei secoli. Dobbiamo pertanto coltivare lo stimolo ad occuparci di questioni “inutili”, eventualmente col supporto (ben mirato) dell’IA.

La professoressa Lanza ha premesso:

Ho provato anch’io a far risolvere l’equazione a ChatGPT. Effettivamente è in grado di utilizzare vari artifici e alla fine arriva alla soluzione di una biquadratica.

Siamo ricorsi allora ancora a ChatGPT che ci ha assistito con efficacia nella nostra ricerca mostrandoci, con le  varianti qui di seguito riportate, come uno stesso esercizio possa diventare terreno fertile per