Le risposte ai quesiti 1–4
Maturità scientifica 2025 – Sessione straordinaria. Le risposte ai quesiti 1–4 della prova di Matematica dell’11 settembre
Di seguito pubblichiamo le soluzioni ai primi quattro quesiti della traccia della sessione straordinaria.
Quesito 1
Determinare il perimetro e l’area di un poligono regolare di lato 4 cm, sapendo che gli angoli interni sono ampi 150°.
Soluzione
Il numero (n) dei lati del poligono si ricava dalla relazione (nalpha=(n-2)pi), dove (alpha) è l’ampiezza di ciascun angolo interno:
[
n=frac{2pi}{pi-alpha}
] Essendo (alpha=tfrac{5}{6}pi), si ha
[
n=frac{2pi}{pi-frac{5}{6}pi}=frac{2pi}{frac{pi}{6}}=12
] Il poligono è un dodecagono regolare di lato (4,text{cm}); pertanto, la misura del perimetro è (48,text{cm}).
L’ampiezza dell’angolo al centro è (tfrac{pi}{6}). Per calcolare il valore dell’area, determiniamo la misura del segmento (OM), apotema del poligono e altezza del triangolo isoscele di base (AB).
Gli angoli alla base del triangolo (ABO) hanno ampiezza (tfrac{5}{12}pi). Pertanto,
[
overline{OM}=overline{AM},tan!left(tfrac{5}{12}piright)=overline{AM},(2+sqrt{3})
] Infatti
[
tanfrac{alpha}{2}=frac{sinalpha}{1+cosalpha}=
frac{sinleft(tfrac{5}{6}piright)}{1+cosleft(tfrac{5}{6}piright)}=
frac{tfrac{1}{2}}{1-tfrac{sqrt{3}}{2}}=frac{1}{2-sqrt{3}}=frac{2+sqrt{3}}{4-3}=2+sqrt{3}
] Con (AM=tfrac{s}{2}=2) e (P=48), l’area risulta
[
A=frac{Pcdot a}{2}=frac{48cdotbigl(2(2+sqrt{3})bigr)}{2}
=24,(4+2sqrt{3})=96+48sqrt{3} text{cm}^2approx 179{,}14 text{cm}^2
]
Quesito 2
Un’urna contiene 16 palline numerate da 1 a 16. Vengono estratte in blocco 5 palline dall’urna; qual è la probabilità che il numero più grande tra quelli usciti sia maggiore di 9?
Soluzione
Il numero di cinquine che si possono ottenere estraendo in blocco 5 palline in un gruppo di 16 corrisponde al numero di combinazioni di classe 5 di 16 oggetti:
[
binom{16}{5}=frac{16cdot 15cdot 14cdot 13cdot 12}{5!}=4368
] Il numero delle cinquine che contengono almeno un numero maggiore di 9 è complementare del numero di cinquine che contengono solo numeri (le 9). Calcoliamo, pertanto, la probabilità dell’evento
[
A: {text{la cinquina estratta è costituita da numeri compresi tra
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