Polinomi della maturità
Algebra e analisi: quando il polinomio si costruisce e quando si interpreta. Due quesiti della maturità 2003 e due diversi modi di pensare l’algebra
Nella prova scritta di matematica della Maturità scientifica del 2003 (PNI) comparivano due quesiti di algebra solo in apparenza elementari.
Il primo chiede di fornire un esempio di polinomio che taglia una retta in quattro punti;
il secondo di trovare un valore del parametro (b) per cui una cubica ammette tre radici reali.
Due problemi simili nella forma, ma profondamente diversi nel modo in cui si affrontano: nel primo si costruisce un polinomio, nel secondo si interpreta il comportamento di una funzione.
1. Il problema che chiede di “fornire un esempio”
Quesito: Dare un esempio di polinomio (P(x)) il cui grafico tagli la retta (y=2) quattro volte.
a) Comprendere la richiesta
La domanda è molto precisa: non chiede di dimostrare o giustificare, ma di fornire un esempio concreto.
In pratica, dobbiamo scrivere un polinomio (P(x)) tale che l’equazione (P(x) = 2) abbia quattro soluzioni reali distinte.
b) La via algebrica (costruttiva)
Per avere quattro soluzioni reali, (P(x) – 2 = 0) deve avere quattro zeri reali.
Un polinomio con quattro zeri distinti è necessariamente di quarto grado. Un esempio semplice è:
[
P(x) = 2 + (x – 3)(x – 1)(x + 1)(x + 3).
]
Infatti:
[
P(x) = 2 Leftrightarrow (x – 3)(x – 1)(x + 1)(x + 3) = 0,
]
che si annulla per (x = -3, -1, 1, 3).
Il grafico di (P(x)) passa dunque quattro volte per la retta (y =
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