Un apparente paradosso

Sul significato delle operazioni matematiche e sui modi per giustificarne le regole. Complementi sui numeri complessi.

Le pagine che seguono sono tratte dal mio libro di Elettrotecnica, dalla sezione dedicata ai Complementi sui numeri complessi.
Si tratta di un testo di livello specialistico, destinato ad una trattazione rigorosa dei concetti matematici impiegati in ambito tecnico. Ciò non di meno, le cosiddette uguaglianze paradossali che vi compaiono si prestano a essere meditate e discusse anche a livello di scuola secondaria di secondo grado,
come stimolo alla riflessione sul significato delle operazioni matematiche e sui modi per giustificarne le regole.

Un apparente paradosso

Si considerino i cinque passaggi riportati, seppure in maniera schematica, nella tabella che segue.

1) ( 2 = 1 + 1 )
2) ( 2 = 1 + sqrt{1} )
3) ( 2 = 1 + sqrt{(-1)cdot(-1)} )
4) ( 2 = 1 + j cdot j )
5) ( 2 = 1 – 1 = 0 )

Appare evidente che la conclusione, 2=0, non è corretta, ma dove si annida l’errore?
Ogni persona dotata di buon senso capisce immediatamente che il passaggio sbagliato si sviluppa tra il punto tre ed il quattro, ma poche sanno compiutamente spiegarne il perché.

Per comprendere dove si celi l’errore, bisogna considerare con attenzione il fatto che l’estrazione di una radice nel campo complesso è un’operazione a più valori, ma che, più in generale, un’operazione matematica deve essere sempre ad un sol valore. Ad esempio, la somma di due numeri oppure la loro differenza ammettono sempre un unico risultato;

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