Perimetro infinito, area finita

Matmedia 21/11/2025

Dai passi tardi e lenti del Petrarca alla curva di Koch di perimetro infinito e area finita. Le sorprendenti forme generate dalla ricorsività

«Solo e pensoso i più deserti campi
vo mesurando a passi tardi e lenti». (Francesco Petrarca, Rvf 35)

Questi versi riportano all’essenza del misurare, ad immaginare di star dietro al Petrarca nei suoi “deserti campi”, camminare con lui contando i passi e affidare alla loro regolarità la valutazione della distanza percorsa.
Ogni passo è un’unità, ogni unità si ripresenta identica — una delle forme più naturali di ricorsività — e la misura nasce proprio da questo susseguirsi ordinato, invariato.

È così che immaginiamo di misurare un qualunque percorso: una strada, un sentiero, un tratto di riva. Se vogliamo maggiore precisione, basta fare passi più brevi, più aderenti alle pieghe del terreno.
Il metodo resta lo stesso: lunghezza del passo × numero dei passi.

Ma che cosa accade se il percorso non è un dolce campo petrarchesco, ma una tragitto che, a ogni scala di osservazione, rivela nuovi dettagli? Che cosa accade se, ogni volta che riduciamo la lunghezza del passo, emergono nuove irregolarità da seguire — pieghe, rientranze, spigoli, svolte — che prima non si vedevano?

Fu proprio questo il problema che Benoît Mandelbrot affrontò nel celebre saggio del 1967: How Long Is the Coast of Britain?.

Il procedimento più naturale è lo stesso suggerito dai “passi tardi e lenti” del Petrarca: scegliere un’unità di misura conveniente — un segmento di lunghezza (delta) — e contare quanti

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Tags: Benoit Mandelbrot, curva frattale, didattica, fiocco di neve, Francesco Petrarca, frattale, Helge von Koch, ricorsione, ricorsività, storia della matematica

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DigComp 3.0: cosa cambia per la scuola? Le novita’ essenziali rispetto alla versione precedente

Il framework DigComp è da anni il nostro punto di riferimento fondamentale per lo sviluppo e la valutazione delle competenze digitali, sia per noi che per i nostri studenti. In un mondo tecnologico in continua evoluzione, è essenziale che anche i nostri strumenti di riferimento si aggiornino. Con la pubblicazione della nuova versione, DigComp 3.0, il Centro Comune di Ricerca (JRC) della Commissione Europea, in collaborazione con la Direzione Generale per l’Occupazione, gli Affari Sociali e l’Inclusione (DG EMPL), ci fornisce un quadro rinnovato e più potente. L’obiettivo di questo articolo è illustrare in modo chiaro e sintetico le principali e più sostanziali novità rispetto alla precedente versione 2.2, per aiutarvi a integrare questi cambiamenti nella vostra didattica quotidiana.

1. Un nuovo contesto: le priorità del DigComp 3.0

L’aggiornamento del framework non è un semplice restyling, ma una risposta diretta e necessaria alle recenti evoluzioni tecnologiche e alle nuove sfide sociali. Lo sviluppo del DigComp 3.0 è stato guidato da cinque temi prioritari, che riflettono le competenze oggi indispensabili per una cittadinanza digitale consapevole e attiva:

• Competenza sull’Intelligenza Artificiale (IA)

• Competenza sulla Cybersecurity

• Diritti, scelta e responsabilità

• Benessere negli ambienti digitali

• Competenza per affrontare la misinformazione e la disinformazione

Queste priorità non sono concetti astratti, ma risposte dirette a fenomeni che già osserviamo in classe: dalla curiosità degli studenti per ChatGPT alla necessità di guidarli nel riconoscere le fake news sui social media.

Inoltre, il DigComp 3.0 integra pienamente i valori della “Dichiarazione europea sui diritti e i principi digitali per il decennio digitale”, promuovendo una visione antropocentrica della trasformazione digitale, in cui la persona è sempre al centro.

2. Le principali novità strutturali: come leggere il nuovo framework

Sappiamo bene che ogni cambiamento in un framework di riferimento richiede un piccolo sforzo di adattamento. Fortunatamente, le modifiche strutturali del DigComp 3.0 sono state pensate proprio per rendere il nostro lavoro di progettazione più semplice e intuitivo. Le modifiche più significative non riguardano solo i contenuti, ma anche la struttura stessa del framework, rendendola più funzionale e pratica, specialmente per chi, come noi insegnanti, deve tradurla in percorsi di apprendimento.

2.1. Dai livelli di padronanza ai “Learning Outcomes”

Una delle innovazioni più importanti è l’introduzione dei risultati di apprendimento (“learning outcomes”). Questi sono definiti come “enunciati di ciò che un individuo conosce, comprende o è in grado di fare al termine di un processo di apprendimento”. Questo approccio trasforma il DigComp da un modello puramente descrittivo a uno strumento prescrittivo e pratico, che funge da “collante” tra il mondo della scuola e le competenze richieste dalla società e dal lavoro. Per noi docenti, i learning outcomes sono una guida diretta per sviluppare curricula, progettare attività didattiche e creare strumenti di valutazione efficaci e coerenti.

2.2. Meno livelli, più chiarezza: Da 8 a 4 livelli di padronanza

Per semplificare la lettura e l’applicazione, il DigComp 3.0 riduce il numero dei livelli di padronanza, passando dagli 8 livelli del DigComp 2.2 a 4 livelli principali, più chiari e distinti:

• Basic (Base)

• Intermediate (Intermedio)

• Advanced (Avanzato)

• Highly Advanced (Altamente avanzato)

Per garantire la continuità e la compatibilità con i sistemi di valutazione e certificazione esistenti, basati sulla precedente struttura, il nuovo framework fornisce una mappatura suggerita che correla i 4 nuovi livelli con gli 8 precedenti. Per un approfondimento, è possibile consultare la “Tabella A3” presente nell’Annex 1 del documento ufficiale DigComp 3.0.

3. Aggiornamenti nei contenuti: esempi concreti di cambiamento

Anche i descrittori di alcune competenze sono stati aggiornati per riflettere le nuove priorità e utilizzare una terminologia più attuale ed efficace. La tabella seguente mostra alcuni esempi significativi di cambiamento tra la versione 2.2 e la 3.0, spiegandone la motivazione.

Competenza in DigComp 2.2

Competenza in DigComp 3.0

Perché è cambiata?

2.5 Netiquette

2.5 Digital behaviour (Comportamento digitale)

La competenza è stata rinominata per riflettere una terminologia più aggiornata.

3.4 Programmazione

3.4 Computational thinking and programming (Pensiero computazionale e programmazione)

Il “pensiero computazionale” è stato aggiunto all’inizio del titolo in quanto è un aspetto rilevante della competenza digitale.

4.3 Proteggere la salute e il benessere

4.3 Supporting wellbeing (Supportare il benessere)

“Supportare” sostituisce “Proteggere” per trasmettere una prospettiva più equilibrata e ottimista (ma non ingenua). “Benessere” è inteso come inclusivo degli aspetti fisici, mentali e sociali, rendendo il termine “Salute” ridondante.

5.4 Individuare i divari di competenze digitali

5.4 Identifying and addressing digital competence needs (Individuare e rispondere ai bisogni di competenza digitale)

Identificare i bisogni non è sufficiente, bisogna anche affrontarli. “Bisogni” (“needs”) è preferito a “divari” (“gaps”) per trasmettere un senso di scelta e autonomia individuale.

4. L’Intelligenza Artificiale: da esempio a competenza trasversale

Mentre il DigComp 2.2 aveva introdotto alcuni esempi relativi all’Intelligenza Artificiale, la versione 3.0 adotta un approccio molto più profondo e sistematico. L’IA non è più un argomento a sé, ma è riconosciuta come una competenza trasversale che attraversa tutte le 21 competenze del framework. Questo non significa che ogni azione sia mediata dall’IA; il framework riconosce e valorizza quegli aspetti intrinsecamente umani — come la scelta etica, le preferenze personali o il giudizio situazionale — che rimangono al centro dell’agire competente.

Per guidare noi educatori, ogni descrittore è etichettato come “AI-explicit” se la competenza riguarda direttamente l’uso o la comprensione dell’IA (es. usare un chatbot), o “AI-implicit” se l’IA agisce come un contesto influente (es. valutare i risultati di un motore di ricerca personalizzati da un algoritmo). Questa distinzione ci aiuta a identificare con precisione dove e come affrontare il tema dell’IA nella nostra didattica.

Cosa significano queste novità per la didattica?

Per noi insegnanti, il DigComp 3.0 rappresenta un’evoluzione significativa. È un framework più moderno, più pratico e decisamente più allineato alle sfide che i nostri studenti affrontano e affronteranno. L’introduzione dei “learning outcomes” ci offre una base solida per la progettazione curricolare, mentre l’attenzione a temi come l’Intelligenza Artificiale, la cybersecurity e la lotta alla disinformazione ci fornisce le coordinate per educare cittadini digitali competenti e responsabili. Adottare DigComp 3.0 significa trasformare la nostra didattica da reattiva a proattiva, fornendo agli studenti non solo competenze, ma una vera e propria bussola per navigare con consapevolezza, creatività e senso critico in un futuro digitale che è già presente.

Maestro Roberto 01/12/2025

Perimetro infinito, area finita

Dai passi tardi e lenti del Petrarca alla curva di Koch di perimetro infinito e area finita. Le sorprendenti forme generate dalla ricorsività
«Solo e pensoso i più deserti campivo mesurando a passi tardi e lenti». (Francesco Petrarca, Rvf 35)
Questi versi riportano all’essenza del misurare, ad immaginare di star dietro al Petrarca nei suoi “deserti campi”, camminare con lui contando i passi e affidare alla loro regolarità la valutazione della distanza percorsa.Ogni passo è un’unità, ogni unità si ripresenta identica — una delle forme più naturali di ricorsività — e la misura nasce proprio da questo susseguirsi ordinato, invariato.
È così che immaginiamo di misurare un qualunque percorso: una strada, un sentiero, un tratto di riva. Se vogliamo maggiore precisione, basta fare passi più brevi, più aderenti alle pieghe del terreno.Il metodo resta lo stesso: lunghezza del passo × numero dei passi.
Ma che cosa accade se il percorso non è un dolce campo petrarchesco, ma una tragitto che, a ogni scala di osservazione, rivela nuovi dettagli? Che cosa accade se, ogni volta che riduciamo la lunghezza del passo, emergono nuove irregolarità da seguire — pieghe, rientranze, spigoli, svolte — che prima non si vedevano?
Fu proprio questo il problema che Benoît Mandelbrot affrontò nel celebre saggio del 1967: How Long Is the Coast of Britain?.
Il procedimento più naturale è lo stesso suggerito dai “passi tardi e lenti” del Petrarca: scegliere un’unità di misura conveniente — un segmento di lunghezza (delta) — e contare quanti ne servono per seguire la linea dall’inizio alla fine.Se indichiamo con (N(delta)), perchè funzione di (delta) , il numero di segmenti necessari a coprire l’intero percorso, la lunghezza misurata a quella scala è:
[L(delta) = N(delta),·delta.]
Per curve regolari, al diminuire di (delta) la misura si affina e tende verso un valore stabile.Ma per linee molto irregolari accade qualcosa di inatteso: riducendo (delta), il numero (N(delta)) cresce così in fretta che il prodotto
[L(delta) = N(delta),·delta]
non si stabilizza, ma aumenta senza limite. La lunghezza, anziché convergere, diverge.
A differenza di una curva disegnata con mano ferma e i caratteri della geometria euclidea, la costa reale nasce dall’azione combinata — e mai del tutto prevedibile — di molte forze: onde, erosioni, fratture, depositi, crolli, mareggiate.
Questo processo incessante crea una linea che appare nuova a ogni scala: da lontano continua, da vicino frastagliata, da più vicino ancora complessa oltre ogni attesa.
È questa proliferazione di dettagli — sempre nuovi, sempre più minuti — che fa esplodere il numero (N(delta)). E così, man mano che (delta) si riduce, la costa “cresce”: rifiuta una lunghezza definitiva.
Per questo Mandelbrot affermò che la costa non è difficile da misurare perché è “complicata”: lo è perché possiede una struttura che si rinnova a ogni scala, proprio come un frattale, un termine che Mandelbrot introdusse solo anni dopo, nel 1975, derivandolo dal latino fractus.
Per descrivere matematicamente una linea che si arricchisce di dettagli a ogni passo, i matematici hanno costruito modelli ideali. Il più celebre è la curva che porta il nome del matematico svedese Helge von Koch (1870- 1924), interamente definita attraverso una procedura ricorsiva.
Passo 0 — Il triangolo di partenza
Si parte da un triangolo equilatero di lato (s), con area:
[A_0 = frac{sqrt{3}}{4},s^2.]
Passo 1 — Aggiungere i triangoli sporgenti
Su ciascun lato, si divide il segmento in tre parti uguali e si sostituisce la parte centrale con due lati di un triangolo equilatero esterno.
L’area aggiunta è:
[A_1 = frac{1}{12},sqrt{3},s^2.]
Passo 2 — Ripetere la stessa operazione
Ad ogni nuovo lato si applica lo stesso schema. Il numero dei triangolini cresce di un fattore 4, la loro area diminuisce di un fattore 9.
L’area aggiunta al secondo passo è:
[A_2 = frac{4}{9}A_1.]
Passo n — La regola ricorsiva
In generale:
[A_n = left(frac{4}{9}right)^{,n-1}A_1.]
Una serie geometrica che converge
L’area totale della figura ricorsiva è:
[A = A_0 + A_1 + A_2 + A_3 + cdots]
cioè:
[A = A_0 + A_1left(1 + frac{4}{9} + left(frac{4}{9}right)^2 + cdotsright).]
La parentesi è una serie geometrica di ragione (frac{4}{9}

Matmedia 21/11/2025

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