Un’interessante proprietà dei punti di una cubica
Dal problema della Maturità ’74 al teorema di Cayley–Bacharach: una proprietà sorprendente delle cubiche tra algebra, geometria e didattica.
Un problema assegnato agli esami di maturità scientifica negli anni ‘70 (sessione suppletiva 1974), poneva una questione riguardante una semplice funzione polinomiale di terzo grado:
«Si consideri la curva di equazione ( y = x(x – 2)^2 ) e siano A, B, C i suoi punti di intersezione con la retta di equazione ( y = x ). Se ( A’, B’, C’ ) sono gli ulteriori punti comuni alla curva ed alle rette tangenti ad essa condotte rispettivamente per A, B, C, si verifichi che ( A’, B’, C’ ) sono allineati».
In una raccolta di temi d’esame, un testo a cura di Alessandro Maggi e Giuseppe Spinoso – Casa Editrice R. Sandron –, gli autori completavano la soluzione del problema con il suggerimento di operare alcune opportune generalizzazioni:
effettuare alcune verifiche dirette, con valori diversi dei parametri dell’equazione della cubica o della retta; dimostrare la proprietà:
«Dati tre punti allineati su una curva di equazione ( y = ax^3 + bx^2 + cx + d ) con ( a neq 0 ), le tangenti in quei punti intersecano la curva in ulteriori tre punti (detti tangenziali) che risultano allineati».
Anche a distanza di anni, il commento alla soluzione di questo problema, semplice ma interessante dal lato concettuale, può fornire l’occasione per un percorso didattico che consente di coinvolgere Algebra, Analisi e Geometria e, se lo si ritiene opportuno,
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