Il numero ricorsivo di Valditara

Errori nelle Nuove Indicazioni Nazionali: si confondono i livelli e così nasce anche il caso del “numero ricorsivo”.

Il 9 dicembre scorso il ministro dell’Istruzione e del Merito Giuseppe Valditara ha annunciato (Comunicato MIM) la firma del testo delle Nuove Indicazioni Nazionali, dichiarando:

«Con la firma delle nuove Indicazioni nazionali si volta pagina. Dal prossimo anno scolastico vi sarà il ritorno della centralità della storia occidentale, la valorizzazione della nostra identità, la riscoperta dei classici che hanno contraddistinto la nostra civiltà. Ripristiniamo inoltre il valore della regola, a partire da quella grammaticale, e del latino. […]Al tempo stesso innoviamo i programmi di matematica e scienze perché, partendo dal reale, possano appassionare i giovani, e mettiamo al centro la cultura del rispetto e della lotta contro ogni discriminazione».

Si tratta di dichiarazioni entusiastiche che coinvolgono, come si legge, anche la matematica, disciplina per la quale il Ministro ha sempre mostrato un’attenzione particolare. Già al momento del suo insediamento, infatti, Valditara aveva affermato che sua intenzione era cambiarne l’insegnamento.

Ora, a distanza di tre anni, se si guarda agli esiti concreti — dalle misteriose citazioni di frasi famose nelle prove scritte della maturità scientifica alla modalità dei concorsi a posti d’insegnante — e se si considera anche la qualità del testo ufficializzato delle Nuove Indicazioni per la matematica del primo ciclo, l’impressione è che il risultato sia opposto a quelle dichiarazioni iniziali.

Proprio nella sezione dedicata alla matematica compare infatti la seguente formulazione:

«Il numero naturale nei tre aspetti cardinale, ordinale e ricorsivo»

La frase è riportata in modo letterale, perché costituisce l’oggetto stesso della presente nota critica.

Qual è il problema?

La criticità della formulazione non è stilistica, ma epistemologica.
Essa mette sullo stesso piano tre termini che appartengono a livelli teorici differenti:

• cardinale
• ordinale
• ricorsivo

Questi tre termini non sono concetti omogenei, né sono tra loro comparabili come “aspetti” del numero naturale.

Gli aspetti cardinale e ordinale rinviano a due modalità semantiche fondamentali del numero: il primo risponde alla domanda «quanti?», il secondo alla domanda «in che posizione?». Si tratta di distinzioni concettuali solide, storicamente fondate e didatticamente consolidate, che riguardano l’uso e il significato del numero naturale.

Il termine ricorsivo, invece, non descrive un aspetto semantico del numero, ma una modalità formale di definizione o di costruzione dell’insieme dei numeri naturali. Esso rinvia alla genesi assiomatica del sistema dei numeri, tipicamente collegata alla funzione “successore“, e non a un uso o a un significato del numero paragonabile a quello cardinale o ordinale.

La differenza di statuto emerge con particolare chiarezza se si considera il seguente punto: si può parlare con piena cognizione di causa, anche a rischio di incappare in celebri paradossi,  di tutti i cardinali e di tutti gli ordinali, ma non ha proprio senso, e nessuno l’ha fatto mai, di parlare di “tutti i numeri ricorsivi”.

Questa asimmetria non è accidentale, ma affonda le sue radici nella fondazione della matematica moderna. Con i lavori di Georg Cantor, i concetti di numero cardinale e numero ordinale acquisiscono uno statuto teorico preciso: essi individuano classi concettuali definite attraverso le relazioni di equipotenza e di ordine, rendendo sensato parlare dell’insieme dei cardinali e dell’insieme degli ordinali.

Nel paradigma Dedekind–Peano, invece, il numero naturale viene caratterizzato attraverso una struttura assiomatica e una definizione ricorsiva, che riguardano la costruzione dell’insieme dei numeri naturali nel suo complesso, e non l’individuazione di un ulteriore “tipo” di numero. In questo senso, ricorsivo non designa una categoria di numeri, ma un principio di definizione del sistema.

Mettere sullo stesso piano cardinale, ordinale e ricorsivo significa dunque confondere categorie semantiche del numero con proprietà metateoriche del sistema che lo definisce.

Questa ambiguità non è neutra sul piano educativo. Può produrre:

• ambiguità per i docenti, chiamati a interpretare che cosa costituisca effettivamente un “aspetto” del numero naturale;

• rischi di fraintendimenti concettuali per gli studenti, che possono essere indotti a considerare ricorsivo come un terzo significato del numero, accanto a cardinale e ordinale.

In conclusione, la conoscenza — prescrittiva al termine della classe quinta della scuola primaria — «il numero naturale nei tre aspetti cardinale, ordinale e ricorsivo» mette impropriamente sullo stesso piano categorie semantiche del numero (cardinale e ordinale) e una modalità formale di definizione (ricorsiva). Mentre cardinale e ordinale descrivono usi e significati del numero, ricorsivo rinvia ad una assiomatica dell’insieme dei numeri naturali e non può essere considerato un aspetto del numero allo stesso livello.

Trattandosi di un tema fondamentale per l’educazione matematica, tanto centrale quanto pervasivo, è particolarmente grave che compaia così travisato in un testo ministeriale di questo rilievo. La questione, peraltro, era stata già segnalata fin dalla prima pubblicizzazione del testo e non costituisce un caso isolato: essa si inserisce in un quadro più ampio di criticità concettuali presenti nelle Nuove Indicazioni.

Il testo contiene, tra l’altro, un paragrafo intitolato «Perché si studia la matematica» che solleva ulteriori perplessità, sia per l’impostazione sia per il linguaggio adottato, al punto da rendere poco chiaro per chi e con quale finalità sia stato scritto. Basti citare, a titolo di esempio, la seguente affermazione:

«Il fatto che il Teorema di Pitagora, nel sistema assiomatico della geometria euclidea piana, fosse vero 2500 anni fa, sia vero oggi e continuerà ad esserlo per l’eternità rappresenta la peculiarità e uno degli aspetti affascinanti di questa disciplina».

Una frase “tipica”, inserita proprio in un capitolo dedicato alle ragioni dello studio della matematica, che solleva interrogativi tutt’altro che marginali sul rapporto tra rigore formale, significato educativo e consapevolezza storica. Su questi aspetti, come su altre carenze del testo — almeno per quanto riguarda la matematica — sarà necessario tornare successivamente.

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