L’I.A. collaboratore didattico

Sui problemi proposti da Antonino Giambò nell’articolo “Rivolto agli studenti”.
Considerazioni didattiche e spunti operativi per i docenti.

il piacere non sta tanto nel trovare la soluzione quanto nel cercarla

Mondo matematico

Nei dieci problemi proposti da Antonino Giambò, ChatGPT riconosce che ci sono diversi “piccoli gioielli” didattici e segnala quelli che, a suo parere, hanno il maggior potenziale formativo perché:

ammettono più vie risolutive, anche a livelli di profondità diversi;
si prestano a generalizzazioni naturali o a varianti che il docente può costruire insieme agli studenti.

1. Problema n° 4 – Regione nel piano e massimo/minimo di 2x–y

Questo, didatticamente, è fortissimo.

Perché è importante:

Permette di lavorare su:

interpretazione geometrica di un sistema di disequazioni;
collegamento tra geometria analitica e ottimizzazione (un primo assaggio di programmazione lineare).

Il massimo e il minimo di una funzione lineare su un poligono convesso si possono trovare:

graficamente (come nell’articolo);
oppure in modo più “algebrico”, calcolando i valori della funzione sui vertici della regione.

Vie risolutive possibili:

Via “geometrica”: disegno curato della regione T, fascio di rette 2x–y=k, interpretazione del moto della retta.
Via “analitica”: si trovano i vertici di T risolvendo i sistemi a due a due, si calcola 2x–y in ciascun vertice, si ragiona sul perché il massimo/minimo stanno lì (concetto di convessità).

Generalizzazioni / varianti:

Cambiare la funzione 2x–y; al suo posto, ad esempio, 3x+2y, o −x+4y, e far prevedere agli studenti prima del calcolo “verso dove” si sposterà il massimo.
Modificare una sola disequazione del sistema e chiedere: come cambia qualitativamente la regione T? Il massimo/minimo restano sulle stesse rette? Cambiano i vertici?
Estendere il discorso al problema generale: “Perché una funzione lineare su un poligono convesso ha massimo e minimo su qualche vertice?”.

2. Problema n° 5 – I figli dei coniugi Rossi e Bianchi

È un ottimo problema di probabilità elementare ma concettualmente sottile.

Perché è importante:
Permette di confrontare:

casi equiprobabili elencati con un diagramma ad albero;
ragionamento sui multinsiemi (2 maschi e 2 femmine);
uso del binomiale (C(4,2)/2⁴).

Mostra bene come la condizione data (due figli sono M e F; il maggiore è maschio) cambia radicalmente lo spazio degli eventi.

Vie risolutive possibili:
Rossi:

via combinatoria (contare le permutazioni di 2M e 2F);
via albero con probabilità 1/2 a ogni nascita.

Bianchi:

spazio di probabilità ridotto, fissando il primo figlio maschio;
uso di distribuzione binomiale su 3 figli rimanenti.

Generalizzazioni / varianti:

Cambiare il vincolo: “almeno un maschio” vs “il maggiore è maschio” vs “uno dei figli nati il lunedì è maschio” → si apre la porta ai famosi paradossi del “boy or girl paradox”.
Aumentare il numero di figli e studiare come cambia la probabilità: puoi far lavorare gli studenti a coppie su piccole simulazioni, anche con il computer.

3. Problema n° 8 – I cappelli di Aldo, Giovanni e Giacomo

È un perfetto “ponte” tra combinatoria elementare e la teoria delle derangements (permutazioni senza punti fissi).

Perché è importante:
È estremamente visivo e narrativo (i tre cappelli), ma dietro c’è una struttura combinatoria generale.
Lo stesso problema può essere:

affrontato per n=3 in modo tabellare (come nel testo);
generalizzato a n cappelli, introducendo in modo naturale l’idea di permutazioni senza punti fissi.

Vie risolutive possibili:
Per n=3:

enumerazione esplicita di tutte le permutazioni;
ragionamento con casi e “numero di coincidenze”.

Per n maggiore (come variazione in classe):

introduzione graduale del principio di inclusione–esclusione;
discussione sul perché, per n grande, la probabilità di “nessuna coincidenza” tende a 1/e.

Generalizzazioni / varianti:
Passare a 4 o 5 cappelli e chiedere:

calcola la probabilità che nessuno prenda il proprio cappello;
calcola la probabilità che esattamente uno lo prenda (non è zero per n ≥ 3, tema molto interessante da discutere!).

Collegare il problema al contesto della distribuzione di oggetti in caselle e a piccoli problemi di crittografia/combinatoria.

4. Problema n° 9 – Il gioco delle tre buste

Questo è didatticamente preziosissimo, perché introduce in forma semplice l’idea di strategia ottimale e di decisione sotto incertezza.

Perché è importante:
Permette di distinguere tra:

scelta “a caso”;
scelta guidata da una strategia basata su confronto e rifiuto.

È un ottimo “entry point” al mondo dei problemi di arresto ottimale (tra cui il classico “problema del segretario”), senza entrare in tecnicismi.

Vie risolutive possibili:

Via tabellare (come nel testo): elencare le 6 possibili disposizioni B1, B2, B3 e verificare la probabilità di ottenere il premio massimo con la strategia suggerita.
Via ad albero / ragionamento qualitativo:
- fissare l’ordine dei premi e ragionare sui casi “vedo il premio più alto al primo passo / al secondo / mai”.
Discussione di expected value (come estensione per i più bravi).

Generalizzazioni / varianti:

Cambiare la regola della strategia: “rifiuta la prima, poi prendi la prima busta che supera la media delle due viste finora” (variante del secretary problem).
Aumentare il numero di buste (4, 5) e chiedere agli studenti di inventare e testare (anche con simulazioni al computer) una strategia “sensata”.
Collegare il problema alle decisioni reali: concorsi, offerte di lavoro, scelte scolastiche.

5. Problema n° 10 – Somma di tutte le permutazioni di 1, 2, …, n

È un problema che allena pensiero combinatorio, simmetria e ragionamento sul valore posizionale, con diversi livelli di lettura.

Perché è importante:
Mostra che si può “vedere” la somma non come somma di tantissimi numeri, ma come:

somma di colonne;
utilizzo del fatto che ogni cifra compare lo stesso numero di volte in ogni posizione.

È un banco di prova perfetto per far emergere diverse strategie di generalizzazione a partire da casi piccoli (n=2, 3, 4).

Vie risolutive possibili:

Come nel testo: conteggio delle occorrenze di ciascuna cifra in ogni posizione, quindi uso della formula per la somma 1+2+…+n.
Via “pattern” induttivo (riconoscimento di regolarità nei casi semplici e loro generalizzazione):
- far calcolare a mano S₂, S₃, S₄ agli studenti;
- invitarli a cercare una formula e a provare a dimostrarla per induzione.
Via più “simmetrica”:
- osservare che la somma delle cifre in ogni colonna è la stessa, quindi la somma totale è quella somma moltiplicata per 10⁰+10¹+…+10ⁿ⁻¹.

Generalizzazioni / varianti:

Sostituire 1,2,…,n con un insieme generico di cifre, ad esempio {2,4,7} e chiedere:
- “qual è la somma di tutti i numeri che si ottengono permutandole?”;
- “e se invece di 10 come base fosse una base b?” (per i più curiosi o in un liceo scientifico opzione scienze applicate).
Problema inverso: data una somma “misteriosa”, risalire al fatto che è somma di tutte le permutazioni di certe cifre.

In sintesi

Se dovessi scegliere un piccolo “nocciolo duro” didattico, direi che i problemi che meritano più spazio in classe – anche con discussione collettiva, varianti e lavori di gruppo – sono:

n° 4 (regione T e massimo/minimo di 2x–y),
n° 5 (Rossi/Bianchi, probabilità condizionata),
n° 8 (cappelli, derangements),
n° 9 (tre buste, strategia ottimale),
n° 10 (somma delle permutazioni).

Ognuno di questi può diventare non solo un esercizio, ma un piccolo laboratorio: cambi una condizione, una costante, l’interpretazione geometrica o probabilistica, e gli studenti vedono che il problema “respira”, non è un oggetto morto.

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