Un ritratto matematico del 2026
Fare matematica con il 2026: numeri SIC, partizioni di Graham e dinamiche ricorsive
2026 ha quattro cifre e solo quattro divisori: (1,2,1013,2026).
Le prime hanno somma 10, i secondi somma 1016. Non è un fatto profondo in senso teorico, ma è un buon punto d’ingresso narrativo: pochi elementi, struttura semplice, nessuna ridondanza.
Un numero “sobrio”, con una prima proprietà elementare. Si può scrivere come somma di interi naturali consecutivi:
[
2026 = 505+506+507+508.
]
È un numero SIC (somma di interi consecutivi). Tra i numeri pari questa proprietà non è banale: vale per tutti quelli che non sono potenze di due. Nel caso di 2026, questa è anche l’unica decomposizione possibile come somma di naturali consecutivi.
Ma c’è un’altra proprietà, meno nota e particolarmente elegante, di cui 2026 gode. Essa rientra tra i risultati considerati tra i più belli della matematica, le cosiddette “meraviglie di 77”. Questo risultato afferma che ogni intero maggiore di 77 si può scrivere come somma di interi naturali distinti tali che la somma dei loro reciproci sia esattamente 1.
Anche 2026 rientra dunque in questa classe. Non è speciale il numero, lo è la regola. Una partizione “alla Graham” è la seguente:
[
2026 = 2+4+12+16+24+28+64+240+312+364+960.
]
Somma dei reciproci:
[
frac12+frac14+frac1{12}+frac1{16}+frac1{24}+frac1{28}+frac1{64}
+frac1{240}+frac1{312}+frac1{364}+frac1{960}=1.
]
La partizione è stata ottenuta applicando il teorema di Ronald L. Graham che afferma che se n ammette una partizione di Graham anche 2n+2 e 2n+179 ammettono partizioni siffatte [VEDI].
A questo punto possiamo cambiare prospettiva. Finora abbiamo guardato 2026 come un numero da scrivere in modi diversi. Ora proviamo a farlo muovere come seme di orbite ricorsive. L’idea è semplice: scegliamo una funzione, la applichiamo a (n), poi rimettiamo l’uscita in ingresso.
In simboli, l’orbita di (n) è
[
n,; s(n),; s^2(n)=s(s(n)),; s^3(n),dots
]
Per evitare parole inutili, useremo una famiglia di funzioni indicizzate:
[
s_k(n)=text{somma delle }ktext{-esime potenze delle cifre di }n.
]
Il pedice specifica la regola; l’esponente indica quante volte la regola viene applicata.
(s_1): Somma delle cifre
10 → 1+0 = 1
1 → 1
(s_2): somma dei quadrati delle cifre
44 → 4²+4² = 16+16 = 32
32 → 3²+2² = 9+4 = 13
13 → 1²+3² = 1+9 = 10
10 → 1²+0² = 1
1 → 1
(s_3): Somma dei cubi delle cifre
232 → 2³+3³+2³ = 8+27+8 = 43
43 → 4³+3³ = 64+27 = 91
91 → 9³+1³ = 729+1 = 730
730 → 7³+3³+0³ = 343+27+0 = 370
370 → 3³+7³+0³ = 27+343+0 = 370
Qui l’orbita si stabilizza su un punto fisso non banale: 370. Per un approfondimento si veda: Dove vanno a finire le somme dei cubi?
(s_4): Somma delle quarte potenze delle cifre:
1328 → 1⁴+3⁴+2⁴+8⁴ = 1+81+16+4096 = 4194
4194 → 4⁴+1⁴+9⁴+4⁴ = 256+1+6561+256 = 7074
7074 → 7⁴+0⁴+7⁴+4⁴ = 2401+0+2401+256 = 5058
5058 → 5⁴+0⁴+5⁴+8⁴ = 625+0+625+4096 = 5346
5346 → 5⁴+3⁴+4⁴+6⁴ = 625+81+256+1296 = 2258
2258 → 2⁴+2⁴+5⁴+8⁴ = 16+16+625+4096 = 4753
4753 → 4⁴+7⁴+5⁴+3⁴ = 256+2401+625+81 = 3363
3363 → 3⁴+3⁴+6⁴+3⁴ = 81+81+1296+81 = 1539
1539 → 1⁴+5⁴+3⁴+9⁴ = 1+625+81+6561 = 7268
7268 → 7⁴+2⁴+6⁴+8⁴ = 2401+16+1296+4096 = 7809
7809 → 7⁴+8⁴+0⁴+9⁴ = 2401+4096+0+6561 = 13058
13058 → 1⁴+3⁴+0⁴+5⁴+8⁴ = 1+81+0+625+4096 = 4803
4803 → 4⁴+8⁴+0⁴+3⁴ = 256+4096+0+81 = 4433
4433 → 4⁴+4⁴+3⁴+3⁴ = 256+256+81+81 = 674
674 → 6⁴+7⁴+4⁴ = 1296+2401+256 = 3953
3953 → 3⁴+9⁴+5⁴+3⁴ = 81+6561+625+81 = 7348
7348 → 7⁴+3⁴+4⁴+8⁴ = 2401+81+256+4096 = 6834
6834 → 6⁴+8⁴+3⁴+4⁴ = 1296+4096+81+256 = 5729
5729 → 5⁴+7⁴+2⁴+9⁴ = 625+2401+16+6561 = 9603
9603 → 9⁴+6⁴+0⁴+3⁴ = 6561+1296+0+81 = 7938
7938 → 7⁴+9⁴+3⁴+8⁴ = 2401+6561+81+4096 = 13139
13139 → 1⁴+3⁴+1⁴+3⁴+9⁴ = 1+81+1+81+6561 = 6725
6725 → 6⁴+7⁴+2⁴+5⁴ = 1296+2401+16+625 = 4338
4338 → 4⁴+3⁴+3⁴+8⁴ = 256+81+81+4096 = 4514
4514 → 4⁴+5⁴+1⁴+4⁴ = 256+625+1+256 = 1138
1138 → 1⁴+1⁴+3⁴+8⁴ = 1+1+81+4096 = 4179
4179 → 4⁴+1⁴+7⁴+9⁴ = 256+1+2401+6561 = 9219
9219 → 9⁴+2⁴+1⁴+9⁴ = 6561+16+1+6561 = 13139
Da qui in poi l’orbita è periodica. Il ciclo (di lunghezza 7) è:
Perché le orbite non “esplodono”
Se un numero ha (k) cifre, la somma dei quadrati delle cifre è al più (9^2cdot k), e la somma delle quarte potenze è al più (9^4cdot k). In entrambi i casi, dopo pochi passi l’orbita rientra in un insieme finito di numeri.
In un insieme finito una dinamica iterata non può divergere: o si ferma, o si stabilizza, o diventa periodica.
Adesso cambiamo macchina. Questa funziona così: calcola i divisori propri e li somma (divisori escluso se stesso).
Indichiamo con (a(n)) la somma dei divisori positivi di (n) escluso (n) stesso. Per 2026: divisori (=1,2,1013,2026); divisori propri (=1,2,1013);
dunque (a(2026)=1016). Nel secondo passo si ha:
[
1016 = 2^3cdot 127,
]
da cui i divisori propri sono
[
1,,2,,4,,8,,127,,254,,508,
]
e quindi
[
a(1016)=1+2+4+8+127+254+508=904.
]
L’orbita è:
→ 136 → 134 → 70 → 74 → 40 → 50 → 43 → 1
e non si stabilizza in un ciclo: l’attrattore è (1). Per approfondire si veda: Numeri amici, mirabili e perfetti.
È tutto qui: stessa partenza, regole diverse, orbite diverse.
La matematica elementare, rimessa in movimento, smette di essere un elenco di proprietà e diventa un percorso verificabile, passo dopo passo.
Un buon augurio, allora, per continuare a fare matematica anche nel 2026: con curiosità, rigore e piacere della scoperta.
L’articolo Un ritratto matematico del 2026 proviene da MATMEDIA.IT.
Commenti