Gli assiomi di Peano

Peano, Dedekind e l’errore del “numero ricorsivo”. Ricorsività ed esistenza: perché il “numero ricorsivo” non esiste.

L’espressione «numero naturale nei tre aspetti cardinale, ordinale e ricorsivo», contenuta nelle Nuove Indicazioni Nazionali per la scuola del primo ciclo, non è un semplice inciampo terminologico. Rivela una confusione concettuale già sottolineata più volte, che consiste nella sovrapposizione di piani teorici diversi: il piano semantico del numero, il piano assiomatico della sua definizione e, sullo sfondo, il linguaggio operativo dell’informatica contemporanea.

Per comprendere con maggiore chiarezza perché parlare di numero ricorsivo come di un aspetto del numero naturale sia concettualmente scorretto, si aggiungono qui le necessarie considerazioni su due snodi fondamentali della matematica moderna: Richard Dedekind e Giuseppe Peano. Non per un esercizio di erudizione storica, ma perché è proprio in questo doppio passaggio che il significato della ricorsività viene fissato in modo rigoroso — e distinto dall’esistenza.

Seguendo Hao Wang, possiamo dire che il problema dei numeri naturali potrebbe essere espresso così: che cos’è un numero naturale? All’inizio la risposta può consistere semplicemente nel fornire qualche esempio tipico, come 13, 24, 100. Oppure nel dire che i numeri naturali sono 0, 1, 2, 3, e così via. Ma come possiamo rendere precisa questa espressione “e così via”?

Per farlo, possiamo guardare al modo in cui ragioniamo sui numeri naturali e isolare alcuni principi di base, o assiomi, le cui conseguenze completano l’intuizione che abbiamo di ciò che i numeri naturali dovrebbero essere. In altri termini, quando dimostriamo risultati sui numeri naturali, quali assunzioni dobbiamo fare per poter iniziare?

Riduciamo allora la situazione al minimo. Abbiamo un oggetto chiamato 0 e un’operazione chiamata successore, indicata con s, che associa a ogni oggetto un altro oggetto. Intuitivamente, s(x) è “il numero successivo a x”. In linguaggio informale, vorremmo dire due cose: che tutti i numeri 0, s(0), s(s(0)), … sono numeri naturali distinti, e che non ce ne sono altri.

Un modo semplice per esprimere questa idea è attraverso i seguenti assiomi:

• 0 non è il successore di alcun numero.
• Se x e y sono numeri distinti, allora anche i loro successori sono distinti. In altre parole, se x ≠ y allora s(x) ≠ s(y).

Questi assiomi implicano, ad esempio, che s(s(0)) ≠ s(0): infatti, se fossero uguali, dal secondo assioma seguirebbe che s(0) = 0, in contraddizione con il primo.

Resta però una questione fondamentale: come possiamo dire che non esistono altri numeri naturali oltre a quelli ottenuti partendo da 0 e applicando ripetutamente il successore? In altre parole, come possiamo formalizzare l’idea che tutti i numeri naturali sono ottenuti in questo modo?

A prima vista potremmo essere tentati di dire che, per ogni x, o x = 0, oppure x = s(0), oppure x = s(s(0)), e così via. Ma questa è un’enunciazione infinita, e dunque non è consentita in una formulazione assiomatica rigorosa.

Dopo il fallimento di questo tentativo ingenuo, si potrebbe pensare che non vi sia modo di raggiungere l’obiettivo. In realtà una soluzione esiste ed è brillante: l’assioma di induzione. Questo assioma esprime il principio secondo cui un sottoinsieme dei numeri naturali che contiene 0 ed è chiuso rispetto al successore deve coincidere con l’intero insieme dei numeri naturali. Più precisamente:

Sia A un sottoinsieme dei numeri naturali tale che:

• 0 appartiene ad A;
• se x appartiene ad A, allora anche s(x) appartiene ad A.

Allora A coincide con l’insieme di tutti i numeri naturali.

Questo assioma cattura formalmente l’idea che non esistono “numeri naturali extra” oltre a quelli generati a partire da 0 mediante il successore.

In definitiva, l’induzione non è una procedura di costruzione, né una forma mascherata di ricorsione: è un assioma di chiusura. Stabilisce che non esistono numeri naturali “al di fuori” di quelli generati a partire da 0 mediante il successore.

Ed è precisamente in questo contesto che il termine ricorsivo acquista un significato rigoroso: non come “aspetto” del numero, ma come principio di generazione e di organizzazione dell’intero sistema.

Si giunge così a quelli che sono comunemente noti come assiomi di Peano:

P1. 0 è un numero.
P2. Il successore di un numero è un numero.
P3. Due numeri non hanno mai lo stesso successore.
P4. 0 non è il successore di alcun numero.
P5. Un insieme K contiene tutti i numeri se 0 appartiene a K e il successore di ogni numero di K appartiene anch’esso a K.

Essi non descrivono che cosa sono i numeri naturali in termini di altri oggetti, ma specificano le proprietà strutturali che qualsiasi sistema deve possedere per poter essere considerato il sistema dei numeri naturali. Come è noto, gli assiomi ammettono modelli diversi — per esempio quando si prende 10 come 0 o quando si prende il quadrato di un numero come successore di quel numero — ma tali modelli sono tutti essenzialmente la stessa cosa nel senso tecnico di essere isomorfi. Si comprendono, a questo punto, anche i limiti definitori degli assiomi di Peano se si tiene conto del teorema di incompletezza di Gödel.

G. Peano (1858-1932) – R.Dedekind (1831-1916)

Nella storia di questi assiomi si inserisce il nome di Richard Dedekind che, prima di Peano, mostra come tali assiomi siano soddisfatti e come, partendo da essi, sia possibile ottenere tutti i teoremi elementari dell’aritmetica. La sua visione è però diversa da quella di Peano. Nei Was sind und was sollen die Zahlen? l’insieme dei numeri naturali è assunto come una struttura esistente: una catena infinita chiusa rispetto a un’applicazione e contenente un elemento iniziale.

Peano e Dedekind, dunque, non dicono la stessa cosa. Peano costruisce una grammatica dell’aritmetica senza impegnarsi ontologicamente; Dedekind fonda l’aritmetica su una scelta ontologica precisa.

In Peano la ricorsività opera all’interno di un quadro già fissato assiomaticamente. Le definizioni ricorsive sono ammissibili perché il sistema lo consente, non perché producano oggetti ex novo. L’induzione non fonda l’esistenza dei numeri: delimita il dominio di cui si parla. L’esistenza, in quanto tale, resta sospesa.

In definitiva, alla ricorsione — una nozione che nasce da una tecnica definitoria — non può essere attribuito un potere ontologico, passando così dall’idea che “una funzione può essere definita per ricorrenza” all’idea che “i numeri esistono perché ricorsivamente generabili”. Questo passaggio non è giustificato né da Peano né da Dedekind.

La ricorsività non fonda l’esistenza: organizza il discorso su ciò che si assume esistente. Confondere una procedura definitoria con una garanzia ontologica significa attribuire alla forma del linguaggio un potere che essa non ha.

Per concludere, in un documento ministeriale della portata delle Nuove Indicazioni Nazionali, il primo passo da compiere avrebbe dovuto essere non l’introduzione di parole nuove, ma il rispetto delle distinzioni concettuali fondamentali su cui la disciplina si fonda. Così, tuttavia, non è stato, ed è almeno auspicabile che i docenti siano resi consapevoli delle inesattezze che vengono loro prescritte per legge come conoscenze da insegnare.

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