Binet Reloaded il 23 Novembre: Generalizzare Fibonacci in pochi Passaggi. Formula generalizzata di Binet con la trasformata Z
Non c’è modo migliore di celebrare il Fibonacci Day, il 23 novembre (1, 1, 2, 3), che sporcarsi le mani con un po’ di matematica discreta. Provo a ricavare la formula chiusa per la successione generalizzata di Fibonacci che generalizza la Formula di Binet con parametri i due termini iniziali (F0=0, F1=1).
Per derivare la formula chiusa della successione generalizzata, possiamo utilizzare la Trasformata Z. Questo è lo strumento più elegante che si usa per risolvere equazioni alle differenze lineari.
0. Definizione del Problema
Vogliamo trovare l’espressione esplicita per il termine n-esimo gn di una successione definita dalla ricorrenza di Fibonacci, ma con condizioni iniziali arbitrarie.Equazione alle differenze: ( g_{n+2} = g_{n+1} + g_n ) per ( n ge 0 ).Condizioni iniziali (parametri): ( g_0 = a ), ( g_1 = b ).
1. Applicazione della Trasformata Z
Applichiamo la Trasformata Z, indicata con ( Z[cdot] ), ad entrambi i membri dell’equazione. Ricordiamone le proprietà fondamentali:a) Linearità: ( Z[a_n + b_n] = A(z) + B(z) )b) Anticipo temporale: ( Z[a_{n+1}] = z A(z) – z a_0 )c) Trasformata del gradino unitario (costante 1): ( Z[1] = frac{z}{z-1} )Per la proprietà di anticipo (shift):( Z[g_n] = G(z) ),( Z[g_{n+1}] = z G(z) – z g_0 ),( Z[g_{n+2}] = z^2 G(z) – z^2 g_0 – z g_1 )Sostituendo nella ricorrenza resa omogenea ( g_{n+2} – g_{n+1} – g_n = 0 ) si passa alla trasformata:[z^2 G(z) – z^2 a – z b – (z G(z) – z a) – G(z) = 0]
2. Risoluzione algebrica per ( G(z) )
Raggruppiamo i termini con ( G(z) ) a sinistra e portiamo i termini noti a destra:
[(z^2 – z – 1) G(z) = z^2 a + z b – z a]
da cui
[G(z) = frac{z^2 a + z b – z a}{z^2 – z – 1}]
Per facilitare l’anti-trasformazione (inversione), conviene dividere tutto per z, in modo da preparare la scomposizione in fratte semplici:
[frac{G(z)}{z} = frac{z a + b – a}{z^2 – z – 1}]
Il denominatore è il polinomio caratteristico di Fibonacci. Le sue radici sono la sezione aurea ( p = frac{1+sqrt{5}}{2} ) e il suo coniugato ( P = frac{1-sqrt{5}}{2} ) che ci portano a poter scrivere:
[frac{G(z)}{z} = frac{z a + b – a}{(z – p)(z – P)}]
3. Scomposizione in Fratti Semplici
Cerchiamo due costanti A e B tali che: [ frac{G(z)}{z} = frac{A}{z-p} + frac{B}{z-P} ]
Calcoliamo i distinti residui, tenendo conto che ( p – P = sqrt{5} ) e che ( p + P = 1 ):
Per A: moltiplica ((z-p)), (polo in ( z=p ))
[A = frac{p a + b – a}{p – P}= frac{(p-1)a + b}{sqrt{5}}= frac{b – P a}{sqrt{5}}]
Per B: moltiplica ((z-P)), (polo in ( z=P ))
[B = frac{P a + b – a}{P – p}= frac{(1-P)a – b}{sqrt{5}}= frac{p a – b}{sqrt{5}}]
5. Anti-trasformazione (Formula Chiusa)
Ora ricomponiamo ( G(z) = A frac{z}{z-p} + B frac{z}{z-P} ) e, poiché ricordo che la trasformata inversa di ( frac{z}{z-k} ) è ( k^n ), anti-trasformiamo ottenendo:
[g_n = A p^n + B P^n]
Sostituiamo i valori di A e B trovati:
[g_n = frac{b – P a}{sqrt{5}} p^n + frac{p a – b}{sqrt{5}} P^n]
Raggruppando per i parametri ( a ) e ( b ):
[g_n = b frac{p^n – P^n}{sqrt{5}}+ a frac{p P^n – P p^n}{sqrt{5}}]
Il termine moltiplicato per b è esattamente la Formula di Binet classica:
[F_n = frac{p^n – P^n}{sqrt{5}}]
Mentre per il termine di a, ricordando che ( pP = -1 ) possiamo scrivere ( P = -1/p ) e ( p = -1/P )per cui
[p P^n – P p^n= -P^{n-1} + p^{n-1}= F_{n-1}]
In conclusione, sostituendo i termini semplificati, otteniamo l’elegante generalizzazione della Formula di Binet:
[g_n = b F_n + a F_{n-1}]
Dove ( F_n ) sono i classici numeri di Fibonacci (F0=0, F1=1, … ).Questa formula dimostra che qualsiasi successione di tipo Fibonacci è una combinazione lineare della successione standard, pesata dai due termini iniziali che vengono scelti.Questo passaggio tramite la Trasformata Z è un metodo potente perché trasforma una convoluzione discreta in una semplice moltiplicazione algebrica.
Riferimenti
#FibonacciDay2025 https://www.matmedia.it/fibonacci-day
1. I Numeri di Fibonacci, N. N. Vorobyov, Progresso Tecnico Editoriale, Milano, 19652. Formula per la determinazione della successione generalizzata di Fibonacci, a cura di Eugenio Amitrano, vedi su: successionegeneralizzatadiFibonacci.pdf
