Una curiosità matematica rimasta tale per due secoli
Dalla soluzione dell’equazione (x^x = a) alla storia della trasformata W di Lambert: una trasformazione rimasta nascosta per due secoli.
Il problema di risolvere l’equazione trascendente (x^x = a) è un classico che non può essere risolto con le funzioni elementari, come logaritmi o potenze semplici. Si risolve ricorrendo a una funzione speciale, capace di agire come una trasformazione che rende il problema risolvibile. Questa funzione è la Funzione W di Lambert (o funzione Omega). Ecco i passaggi della trasformazione per isolare la x.
La Trasformazione (Funzione W di Lambert)
La Funzione W di Lambert, definita (W(z)), è data come funzione inversa della funzione (f(w) = w·e^w). In altre parole, se: (z = w·e^w) allora, per definizione, si ha (w= W(z)). L’obiettivo della trasformazione è portare l’equazione (x^x = a) nella forma (w·e^w = z).
Applicazione per passi elementari all’Equazione (x^x = a)
Passo A: Applicare il Logaritmo Naturale
Partiamo dall’equazione data: (x^x = a)
Applichiamo il logaritmo naturale ln a entrambi i membri: (ln(x^x) = ln(a))
Per la proprietà dei logaritmi (ln(b^c) = c·ln(b)), otteniamo: (x·ln(x) = ln(a))
Passo B: Trasformare x in un Esponenziale
Dobbiamo far comparire la base e per sfruttare la definizione della Funzione W.
Sappiamo che (x) può essere sempre scritto come (e^{ln(x)}).
Sostituiamo x con (e^{ln(x)}) nel primo membro: (e^{ln(x)}·ln(x) = ln(a))
Passo C: Applicare la Funzione W
L’equazione è ora nella forma desiderata (w·e^w = z), dove: (w = ln(x)) e (z = ln(a)). Applicando la Funzione W di Lambert a entrambi i membri (in modo tale da invertire l’espressione
