Una sfida di geometria dal Primo Ministro russo

Il Primo Ministro della Federazione Russa, Mikhail Mishustin, in occasione dell’inizio dell’anno scolastico 2021-2022, ha incontrato gli studenti del Liceo scientifico-tecnologico intitolato a P. L. Kapitsa. Il Liceo si trova a Dolgoprudny, vicino a Mosca.

C’è un bell’aneddoto su quella visita, ma qui riporto subito il problema matematico che Mishustin ha proposto agli studenti.

Data una circonferenza di diametro AB e un punto P su di essa, disegnate la perpendicolare da P al diametro AB usando soltanto una riga non graduata (e una matita, naturalmente).

Cari amici, vi invito a risolvere il problema. Se siete insegnanti, potreste proporlo in classe e lasciare molta libertà ai vostri studenti. Più sotto, troverete una soluzione ufficiale e altre soluzioni in libertà.

Nel frattempo vi racconto l’aneddoto di cui parlavo all’inizio.

Dunque, il Primo Ministro entrò in classe…

Gli studenti in quel momento erano impegnati a risolvere un problema sull’analisi dei progetti aziendali.

– Ragazzi, perché fate progetti aziendali in questo Liceo? Qui sono necessarie conoscenze fondamentali, giusto? – chiese il capo del governo.

– Nei tempi moderni, abbiamo bisogno di tutti i mestieri, specialmente in Russia – risposero gli studenti.

Allora Mishustin propose ai ragazzi di risolvere il problema di geometria che abbiamo visto sopra.

– Vi lascio un po’ di tempo per risolverlo, poi ritornerò.

Gli studenti, insieme all’insegnante, si misero a cercare soluzioni, ma non riuscirono a risolvere il problema.

Tornato in classe, Mishustin spiegò la soluzione del problema e soprattutto la morale della sua sfida:

– Certo, è molto importante risolvere problemi commerciali applicando le conoscenze matematiche che possedete. Ma mi sembra che alla vostra età sarebbe meglio acquisire alcune competenze fondamentali. Quando avrete le conoscenze matematiche, fisiche, chimiche, sarete in grado di risolvere qualsiasi problema, compresi gli affari.

Traduzione e sintesi di un post del 4 settembre 2021 sul blog dell’ICM (International Congress of Mathematicians), A math problem from the Prime Minister

UNA SOLUZIONE CORRETTA

Ecco un esempio di soluzione corretta. È una piccola avventura matematica.

Questa è la figura data.

La domanda è: come si fa per costruire la perpendicolare da P al diametro AB usando solo una riga non graduata?

La strategia risolutiva consiste nel trovare dapprima una perpendicolare più facile e poi usarla per costruire la perpendicolare per P.

Prima di procedere, osservate la figura seguente e provate a chiedervi: se conoscessi la perpendicolare verde, come potrei usarla per costruire la perpendicolare rossa, avendo a disposizione solo una riga non graduata?

Ed ecco la soluzione completa.

Primo passo: disegniamo il triangolo ABP che è rettangolo perché inscritto in una semicirconferenza.

Secondo passo: segniamo un altro punto D sulla semicirconferenza a cui appartiene P e disegniamo il triangolo rettangolo ABD.

Terzo passo: prolunghiamo AD e BP che si intersecano nel punto F e osserviamo il triangolo ABF.

Nota: sapendo in precedenza che vogliamo ottenere il triangolo ABF, dobbiamo scegliere D in modo che AD e BP convergano in un punto abbastanza vicino.

Quarto passo: Osserviamo che AP e BD sono due altezze del triangolo ABF.

Quindi il loro punto d’intersezione E è l’ortocentro del triangolo.

Tracciamo la retta FE che è la terza altezza perché passa per l’ortocentro. Essa interseca la circonferenza in H e J e il diametro in G.

Abbiamo ottenuto la retta FJ che è una perpendicolare al diametro, ma non è quella che vogliamo.

Tuttavia possiamo usarla per trovare la perpendicolare passante per P.

Quinto passo: cancelliamo mentalmente tutte le linee di costruzione eccetto HJ.

Tracciamo la retta HP che interseca il prolungamento del diametro in I.

Sesto passo: tracciamo il segmento IJ che interseca la circonferenza in K.

Il punto K è simmetrico di P rispetto al diametro perciò la retta PK è la perpendicolare che cerchiamo.

SOLUZIONI ALTERNATIVE

Ho postato questo problema in una nota rete sociale e ho ottenuto, oltre alla risposta attesa, anche altre soluzioni un po’ più libere.

Secondo me, sono tutte valide e possono stimolare discussioni interessanti  sul significato delle costruzioni geometriche con riga e compasso oppure con uno solo dei due strumenti, o anche con un compasso arrugginito, o infine con l’origami.

1. Usando anche il compasso

Segno un punto M sul prolungamento del diametro.
Punto il compasso su M con apertura MP e traccio un arco che interseca la circonferenza in P e Q.
La retta PQ è la perpendicolare cercata.

2. La riga come un compasso
Sistemo la riga lungo BP e, con la matita, segno sulla riga la distanza BP.
Poi ruoto la riga attorno a B finché il segno tocca la circonferenza nel punto Q sotto il diametro.
La retta PQ è la perpendicolare cercata.

3. La riga come una squadra
Supponendo che la riga sia rettangolare, sistemo il suo lato corto sul diametro, scorro fino al punto P e tiro giù la perpendicolare al diametro

4. Stile origami 1
Supponendo che il disegno sia su un foglio di carta, piego il foglio in modo che la piega passi per P e che il diametro sia sovrapposto a se stesso.
La piega individua proprio la perpendicolare al diametro passante per P.

5. Stile origami 2
Supponendo che il disegno sia su un foglio di carta, piego il foglio lungo il diametro AB, foro con la matita il punto P, trovo Q simmetrico di P e traccio la perpendicolare al diametro.

6. Tangenti a occhio
Traccio la tangente in P alla circonferenza e trovo la sua intersezione col prolungamento di AB.
Dal punto di intersezione traccio l’altra tangente alla circonferenza, unisco i due punti di tangenza e ho trovato la perpendicolare per P al diametro AB.

7. Perpendicolare a occhio
Traccio la perpendicolare a occhio.

8. Da un Manuale di matematica pura
Teoricamente è stato dimostrato da Poncelet e Steiner che tutte le costruzioni geometriche euclidee si possono fare con una riga e una circonferenza qualsiasi disegnata di cui si sappia il centro.
Il resto della costruzione è lasciato al lettore.

LA VOSTRA COLLABORAZIONE

Quando si parla di cose apparentemente semplici ma in realtà complesse, gli errori sono sempre in agguato! Perciò, invito i lettori e i colleghi insegnanti di scienze a segnalarmi gli errori e i passaggi incompleti o poco chiari che avete eventualmente notato in questo articolo. Vi invito anche a segnalarmi nuove idee e punti di vista che non ho considerato.

Questo articolo si trova anche nel sito BASE Cinque – Appunti di matematica ricreativa.