Maturità: il problema del 2007
Luoghi geometrici nelle prove degli esami di maturità. Il problema del 2007. Le diverse soluzioni e i commenti.
La nota definizione di luogo geometrico (l’insieme di tutti e soli i punti P, del piano o dello spazio, che godono di una certa proprietà R) ne evidenzia il ruolo fondamentale nello studio della geometria sia analitica, sia sintetica, grazie alla connessione logica tra due proprietà
- P appartiene ad una figura F
- P soddisfa una certa relazione R
La prima è una proprietà geometrica, la seconda può anche essere espressa in linguaggio algebrico.
Si comprende facilmente come lo studio dei luoghi geometrici possa fornire molti spunti che vanno al di là dei calcoli e delle costruzioni grafiche, rivelando aspetti pluridisciplinari e versatilità nelle applicazioni, dalla traiettoria di un punto in Cinematica al dominio di interesse in un problema di ottimizzazione o di Calcolo delle Probabilità.
Molti esempi tratti dalle tracce assegnate alla maturità scientifica mettono in luce la varietà degli approcci risolutivi nella ricerca dell’equazione caratteristica di un luogo geometrico e potrebbero fornire spunti utili per i docenti che dovranno formulare le prove d’esame di quest’anno.
Nel Quadro di Mondrian, il “Syllabus essenzializzato” del 2014, i luoghi geometrici sono rappresentati dall’immagine della cicloide, detta la «bella Elena» della Matematica, non tanto per il suo profilo armonioso quanto per le sfide, le controversie, i problemi e le dispute che ha suscitato negli ambienti scientifici, grazie alle sue interessanti proprietà. Un invito a non trascurare la dimensione storica nello studio delle curve classiche e a conciliare gli aspetti tecnici e applicativi con l’indagine e l’intuizione geometrica.
Nei Quadri di riferimento del 2018 (per la redazione e lo svolgimento delle prove d’esame) si legge:
“Essa (la prova) è finalizzata ad accertare l’acquisizione dei principali concetti e metodi della matematica di base, anche in una prospettiva storico-critica, in relazione ai contenuti previsti dalle vigenti Indicazioni Nazionali per l’intero percorso di studio del liceo scientifico”.
Tra gli obiettivi della prova troviamo:
- Determinare luoghi geometrici a partire da proprietà assegnate.
- Porre in relazione equazioni e disequazioni con le corrispondenti parti del piano.
Le Indicazioni nazionali (2010) suggeriscono:” Le sezioni coniche saranno studiate sia da un punto di vista geometrico sintetico che analitico. Inoltre, lo studente approfondirà la comprensione della specificità dei due approcci (sintetico e analitico) allo studio della geometria”
A partire dal 2001, anno in cui fu adottata per la prima volta l’attuale formulazione della seconda prova scritta di matematica, problemi e quesiti sui luoghi geometrici sono stati assegnati con una certa regolarità, prevalentemente nei corsi sperimentali. Molto spesso erano favoriti i riferimenti di carattere storico alle curve classiche, come la circonferenza di Apollonio ( primo problema PNI 2001) e la versiera di Gaetana Agnesi (Primo problema PNI 2003) e situazioni che potevano essere affrontate sia con metodi analitici, sia per via sintetica (quesiti n.10 -ordinamento e n. 9 PNI 2011-Problema 2 ordinamento 2012).
Andando un po’ indietro nel tempo, segnaliamo il secondo quesito della prova assegnata nella sessione ordinaria 1989-‘90, il primo quesito della sessione ordinaria 1990-’91 e il terzo della sessione suppletiva dello stesso anno.
Un’attenzione particolare merita un problema assegnato nella sessione ordinaria 2007, sia al corso di ordinamento, sia ai corsi sperimentali.
E’ ricordato come uno dei problemi più discussi, di fronte al quale molti candidati, o addirittura intere classi, sono apparsi disorientati, soprattutto nel risolvere il primo punto del problema che richiedeva l’equazione cartesiana di un luogo geometrico.
Anche se il concetto di luogo era sicuramente in loro possesso, molti studenti hanno dimostrato poca dimestichezza con le procedure da adottare e si sono smarriti nella gestione delle formule e delle procedure di calcolo.
Le perplessità manifestate dai docenti, alla luce dei risultati, sfociarono in un ampio dibattito sulla struttura e sulla formulazione delle prove d’esame e sulla necessità di un Syllabus. In effetti le criticità del problema in questione erano state un po’ troppo enfatizzate e il disagio sembrava nascere piuttosto da un’esigenza di confronto tra i contenuti delle tracce d’esame e i percorsi didattici effettivi.
Il Progetto Nazionale “La Matematica agli esami di Stato: contenuti e valutazione”, varato nel 2010 , nel quale confluì l’Indagine nazionale, contribuì in modo significativo ad allineare le prove d’esame e i percorsi didattici.
I Syllabus elaborati nel 2009 e nel 2014 non sono stati però ufficializzati e solo con i Quadri di riferimento si è avuto un tentativo di circoscrivere in modo dettagliato gli obiettivi disciplinari specifici per la prova di matematica (o di fisica).
Ricordare questo episodio può essere un‘occasione di confronto con le attuali criticità del processo di insegnamento/apprendimento e per valutare le opportunità che potrà offrire l’esperienza di una prova d’esame «locale», cioè formulata dai docenti di matematica dei singoli istituti scolastici.
Il problema del 2007
Il problema richiede, principalmente, conoscenze e competenze di geometria e trigonometria; la complessità dei calcoli poteva essere tranquillamente evitata scegliendo un approccio risolutivo di tipo geometrico, più agile e, tra l’altro, più elegante.
Si riportano, a titolo di confronto, alcune proposte risolutive limitatamente al primo punto.
Commento finale
Rileggendo l’intera traccia del problema, osserviamo che il punto 2 è direttamente collegato al punto 1 ma, volendo evitare considerazioni di tipo geometrico, il grafico della curva può scaturire da un classico studio di funzione (considerando una delle due funzioni tra loro simmetriche rispetto all’asse x ottenute esplicitando la variabile y).
Nel punto 3 oltre a risolvere un problema di ottimizzazione, si richiede anche l’uso di strumenti di calcolo. Nel punto 4 si ritorna alla trigonometria o alla geometria con un chiaro riferimento a un triangolo aureo.
Se questo problema fosse assegnato ai giorni nostri potremmo affermare che, riguardo ai contenuti, è in sintonia con le Indicazioni nazionali e con i Quadri di riferimento.
Quindici anni fa, però, la normativa di riferimento sull’esame di Stato di matematica era piuttosto generica. I programmi dei corsi di ordinamento erano ormai obsoleti. Quelli dei corsi sperimentali erano troppo vasti per poter affrontare tutti gli argomenti con il dovuto approfondimento.
Probabilmente nel primo punto, di fronte ai possibili approcci risolutivi, la maggioranza dei candidati ha preferito l’approccio standard analitico o trigonometrico, nella convinzione di aver scelto la strada familiare e più sicura. Molti si sono bloccati, invece, alle prime difficoltà di calcolo.
Il metodo analitico doveva essere quello più vicino alle pratiche didattiche.
Molti candidati però, hanno «visto» il problema come un ordinario caso di risoluzione di un triangolo e hanno scelto subito l’approccio trigonometrico, disorientandosi poi sia nella manipolazione delle formule, sia nella scelta del metodo per eliminare il parametro.
Per quanto riguarda la formulazione del testo, la conoscenza del risultato del primo punto avrebbe forse permesso al candidato di monitorare il processo risolutivo o di passare comunque a risolvere ,più o meno tranquillamente, il secondo punto.
Negli anni seguenti, in effetti, gli estensori delle prove hanno cercato di attenersi ad alcuni criteri favorevoli ai candidati, quali l’indipendenza tra i punti del problema o la presenza di strutture di controllo.
Questi criteri, come era prevedibile, non furono mai resi prescrittivi ma non dovrebbero sfuggire all’attenzione di chi si accinge a formulare una prova di verifica “finalizzata ad accertare l’acquisizione dei principali concetti e metodi della matematica di base” dando quindi ai candidati la possibilità di dimostrare le proprie competenze anche in caso di fallimenti iniziali.
