Didattica della matematica. L’importanza di proporre più problemi che hanno la stessa soluzione e il precetto: denota e conquista.
«Si narra che l’inventore del gioco degli scacchi chiedesse di essere compensato con chicchi di grano: un chicco sulla prima casella, due sulla seconda, quattro sulla terza e così via, sempre raddoppiando il numero dei chicchi, fino alla 64a casella. Assumendo che 1000 chicchi pesino circa 38g, calcola il peso in tonnellate della quantità di grano pretesa dall’inventore».
È uno dei quesiti della prova scritta di maturità della sessione ordinaria 2006 ed è stato recentemente ricordato su Matmedia in «Il quesito sugli scacchi, come proporlo in modo più interessante?». Senza dover ulteriormente attardarci sul quesito e su ciò che di matematicamente rilevante coinvolge, si vuole ora dare spazio a qualche considerazione didattica. In particolare, sottolineare l’importanza che ha per il discente l’essere portato ad affrontare più esempi di problemi che conducono alle stesse soluzioni anche se ottenibili con strategie e procedure diverse.
D’altronde la leggenda di una richiesta così singolare, come quella dell’inventore degli scacchi, è nota e raccontata un po’ ovunque.
Kasner e Newman nel loro Matematica e Immaginazione la inseriscono nel capitolo “Passatempi del passato e del presente”. Un capitolo di “matematica ricreativa” che ha sempre attirato l’attenzione dei matematici, ma che nella seconda metà dell’Ottocento è stato particolarmente curato. Della matematica come gioco e addirittura “passatempo vitale” se ne è parlato anche a proposito della coppia Carroll-Dodgson nell’ottica più generale del Ridentem dicere verum ovvero dell’insegnare incuriosendo e divertendo.
Mentre Dodgson lavorava a Oxford ai suoi Pillow Problems, in Francia Edouard Lucas (1842- 1891) inventava nel 1883 il famoso enigma della “torre di Hanoi” per la cui diffusione utilizzò, come Dodgson, uno pseudonimo: Claus de Siam. Ecco il problema: abbiamo tre pioli e una torre di otto dischi inizialmente tutti infilati su uno di essi, dal più grande al più piccolo. L’obiettivo è quello di trasferire tutta la torre su uno degli altri pioli muovendo un solo disco per volta e senza mai porre un disco sopra uno più piccolo. Un problema tipico della ricorsività, risolubile cioè con una semplice procedura ricorsiva.
Lucas, decisamente compiaciuto dell’invenzione di questo problema, ne escogitò una versione più mistica e enigmatica.
Immaginò una torre di Brahma collocata nel tempio di Benares, costituita da ben 64 dischi d’oro infilati su uno dei tre bastoncini di diamanti presenti e un gruppo di sacerdoti impegnati a spostare i dischi sul terzo bastoncino, secondo le regole esposte in precedenza. Un impegno al quale i sacerdoti attendono ancor oggi lavorando giorno e notte, pur sapendo che, quando avranno terminato, il tempio crollerà e sarà la fine del mondo.
Che l’enigma abbia una soluzione potrebbe, forse, non apparire immediato e così anche l’individuazione di una procedura per determinarla. Una volta però che si sia pervenuti in un modo qualsiasi a percepirne la risolubilità, è rilevante dal punto di vista matematico porsi la domanda: quante mosse sono necessarie e sufficienti per risolvere il problema?
Il metodo migliore per affrontare una domanda come questa è di generalizzarla:
la torre di Brahma ha 64 dischi e la torre di Hanoi ne ha 8. Si può dunque supporre una torre con n dischi. Un vantaggio di questa generalizzazione è che possiamo ridurre ancora di più il problema; ridurlo nel senso di cominciare ad affrontare i casi più semplici. È facile infatti capire come spostare una torre che contiene solo uno o due dischi e pochi esperimenti bastano per mostrare come spostarne una di tre dischi.
C’è da dire che la rete internet fornisce tanti e tali esempi della torre di Hanoi da rendere decisamente agevole la comprensione della strategia risolutiva del problema in modo operativo e interattivo, eventualmente compilando anche una tabella delle mosse necessarie per n crescente.
Un ben collaudato precetto operativo è: denota e conquista.
Didatticamente può essere utile, cioè, introdurre una notazione appropriata. Denotiamo con Tn il numero minimo di mosse necessarie per spostare n dischi da un piolo ad un altro secondo le regole di Lucas; allora T1 è ovviamente 1 e T2 = 3, T3 = 7, T4 = 15, ecc.. Si può anche pensare di denotare con T0 le zero mosse necessarie e sufficienti per spostare zero dischi e osservare che Tn = 2n-1 per n ≥ 0. Ma è anche, in modo ricorsivo, Tn=2Tn-1+1 cioè il numero di mosse per n dischi si ottiene moltiplicando per 2 il numero delle mosse per n-1 dischi e aggiungendo 1. La dimostrazione che ciò sia vero per ogni n si ottiene per induzione. Dunque:
Tn = 2Tn-1+1 = 2(2n-1 – 1) = 2n-1
Marin Mersenne (1548-1648)
Mentre noi stiamo ragionando e dimostrando, quei sacerdoti del monastero di Benares stanno ancora lavorando.
Stanno ancora assolvendo al compito di spostare i dischi d’oro, e continueranno a farlo per diversi anni, perché per n = 64 ci sono 264 – 1 mosse (circa 18 miliardi di miliardi), il numero esatto è: 18.446.744.073.709.551.615.
Anche all’impossibile ritmo di una mossa al microsecondo, essi avranno bisogno di oltre 5000 secoli per spostare la torre di Brahma, L’enigma originale di Lucas, la torre di Hanoi, richiede solo 28-1= 255 mosse che necessitano di un tempo di circa 4 minuti se effettuate a mano.
Insomma ci sarà proprio da divertirsi, senza contare poi che 2n-1 è la forma di un numero di Mersenne e senza contare la ricchezza di problemi offerti dalla ricorsività che Hofstaedter definì particolarmente congeniale ai giovani di oggi: vogliono pensare in modo ricorsivo!
Prima di chiudere questa nota però vale la pena di citare un altro problema che porta sostanzialmente alla stessa soluzione.
Si tratta di una curiosità antropologica e sono i soliti Kasner e Newman ad offrircela.
La curiosità consiste nel pensare al numero degli antenati di ciascun individuo di oggi andando a ritroso fino a contare 64 generazioni. Diciamo dunque approssimativamente da Ipazia ad oggi. Scrivono Kasner e Newman: «Con riferimento a questo periodo di tempo, si ammetta che ogni persona abbia 2 genitori, 4 nonni, 8 bisnonni, ecc., e, non consentendo combinazioni incestuose, ciascuno da solo avrebbe 264 antenati, ossia poco meno di diciotto quintilioni e mezzo di parenti. Questo pensiero è veramente deprimente!».
Laureato in matematica, docente e preside e, per quasi un quarto di secolo, ispettore ministeriale. Responsabile, per il settore della matematica e della fisica, della Struttura Tecnica del Ministero dell’Istruzione. Segretario, Vice-Presidente e Presidente Nazionale della Mathesis dal 1980 in poi e dal 2009 al 2019, direttore del Periodico di Matematiche.
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