Problemi, paradossi e… invarianza

Altri problemi e paradossi… e il teorema dell’angolo giro. L’invarianza stella polare per la didattica della matematica.

 Problema:

Pensate alla Terra. Pensatela perfettamente sferica ed immaginate di poterla vedere tutta, dominarla, con gli occhi e con le mani. Fatto questo sforzo di immaginazione, lanciatevi a compierne un altro: cingetela all’equatore con un filo di ferro ben stretto ed aderente alla sua superficie e saldatene così gli estremi.

Di quanto filo avete avuto bisogno? Circa 40.000 km. Se ricordate fu proprio questa misura, supposta esatta, a giustificare l’introduzione del metro nel 1791.

Ancora uno sforzo: tagliate il filo in un punto e, agli estremi così liberati, saldate gli estremi di un altro pezzo di filo della lunghezza di 1 metro.

Per effetto di questo allungamento è opinabile che il filo non sia più ben stretto ed aderente alla terra, ma se ne sia discostato. Abbandonatevi allora all’amore per la simmetria e disponete che la posizione finale del filo sia concentrica alla prima.

A questo punto ponetevi la domanda: di quanto si sarà sollevato il filo di ferro? Quanto sarà quell’x in figura? Sarà tale da far passare una formica, un topolino o un cagnolino? La percezione, comune e immediata, è di un x infinitesimo, si tratta infatti dell’allungamento di un solo metro rispetto ai quaranta milioni di metri!

Per rispondere in modo sicuro però formalizziamo insieme il problema.

La circonferenza è aumentata di 1 metro; prima era 2πR ora è 2πR+1; il raggio è  passato da R ad R+x ed è

2 π (R+x) = 2 π R + 1

Un’equazione di primo grado la cui soluzione è:

x = 1/2π ≅ 16cm

Uno spazio enorme per quel che potevate aspettarvi, contrario ad ogni previsione. Ci passa bene un cane bassotto!

Il risultato a prima vista strano e paradossale non risulta però più tale se notate che esso è indipendente da R; matematicamente è un fatto rilevante: quell’x è un invariante. Otterreste cioè lo stesso risultato partendo, non da una circonferenza così grande, ma da una piccola, un’arancia ad esempio, di 6 cm di raggio e non di 6300 km.

Il problema potete porlo anche in una forma diversa:

La costruzione di una grande linea elettrica impone di cingere la terra lungo la circonferenza equatoriale di un filo conduttore ad una altezza costante di 2m dalla superficie. Rispetto ai 40.000 km di lunghezza della circonferenza all’equatore di quanto filo in più avete bisogno? Questa lunghezza è dell’ordine di pochi metri, delle centinaia di metri o di molti chilometri?

Questa nuova formulazione del problema vi offre, forse, modi più efficaci, meno formali comunque, di convincervi del risultato. Potete infatti pensare ad una terra quadrata di perimetro 40.000 km. Lungo i lati il filo corre parallelo; il filo in più è solo quello ai 4 vertici, che potete supporre vertici di altrettanti settori circolari o vertici di altrettanti quadrati. Nell’uno o nell’altro caso la lunghezza cercata è solo di una decina di metri, nel primo caso pari solo alla circonferenza di raggio 2 quindi circa 12 metri. Una bazzecola!

Qui si vede chiaramente che il problema è indipendente dal lato del quadrato: piccolo o grande, il risultato è sempre quello; così se si considera un ottagono o un poligono a mille lati o….la circonferenza.

Questo problema ha un legame con un’altra questione:

«Prendete due monete uguali; una tenetela ferma; l’altra fatela rotolare senza strisciare attorno alla prima. La moneta che rotola, oltre a girare attorno a quella fissa, ruota anche  su se stessa. Domanda: “Quando la moneta avrà compiuto un giro completo, una rivoluzione attorno alla fissa, quanti giri su se stessa avrà fatto?»

Dante raffigurato nella moneta da due euro quante volte, nella rotazione completa, si troverà a testa in giù? La risposta immediata e intuitiva è 1: le circonferenze sono uguali, mentre l’una rotola sull’altra è come se la sua circonferenza si trasferisse, srotolandosi, punto dopo punto sull’altra fissa.

Anche qui la realtà sconfessa l’intuizione. I giri sono 2 e non 1.

Piuttosto che la formalizzazione, alquanto complicata[i], può giovare pensare di far rotolare la moneta lungo il perimetro di un rettangolo ABCD. La moneta nel suo rotolare da A a B gira su sé stessa un numero di volte pari al rapporto AB/c, se c denota la sua circonferenza. In B cosa succede? La moneta non consuma spazio ma angolo: per proseguire lungo BC ruota di 90°  e  così poi fa in C e ancora in A ritornando nella posizione iniziale. In totale avrà compiuto un giro su sé stessa più il numero di giri pari al rapporto tra il perimetro e c. Un giro è dovuto dunque la movimento. Se invece di un rettangolo si considera un decagono o un 1000-agono, in ogni vertice la moneta ruoterà di 1/10 o 1/1000 di angolo giro.

In rete si trovano molte immagini dinamiche e molti video che illustrano questo famoso paradosso rendendo estremamente chiaro  quanto avviene nel movimento, compreso il fatto che la moneta mobile nella sua rivoluzione intorno alla moneta fissa descriva una cardioide.

Ciò si vede molto bene ad esempio in Wolfram.com e anche in: Coin rotation paradox.

Questo girare intorno riconduce al teorema dell’angolo giro, il teorema che è noto come somma degli angoli esterni di un poligono, perché, per una consolidata tradizione didattica, si introduce limitando il discorso ai soli poligoni convessi. In definitiva il teorema principe dell’invarianza: la somma degli angoli esterni di un poligono convesso è sempre la stessa, non varia qualunque sia il numero dei lati del poligono. Un teorema che Emma Castelnuovo introduce proprio a partire dalle rotazioni che concretamente una persona compie girando attorno ad un palazzo a pianta poligonale o il docente compie girando intorno alla cattedra.

Nel progetto della Castelnuovo Matematica nella realtà, vol.1,  il teorema, introdotto così, in via intuitiva, è proposizione primaria nel senso che è punto di partenza del discorso geometrico che diviene via via più preciso e rigoroso. Un modo di procedere che è il medesimo scelto da Seymour Papert ed altri in un progetto informatico di insegnamento della geometria della “tartaruga”. Un insegnamento dinamico, condotto in modo sintonico al corpo umano, dove il teorema dell’angolo giro tartaruga è fondamentale e valido per tutti i poligoni, concavi e convessi, convenendo di misurare positivamente gli angoli descritti da rotazioni che avvengono in un verso e negativamente gli angoli ottenuti ruotando nel verso opposto.

NOTE

[i] Il paradosso delle rotazioni delle monete è trattato da moltissimi autori compresi Martin Gardner e Kasner-Newman. Una trattazione più specifica, legata all’insegnamento, si trova in: Herbert Meschkowski, Matematica moderna e formazione dell’uomo, in Scuola e città, 9-10, 1965. Un quaderno questo prezioso ancor oggi: contiene infatti gli scritti dei più noti esperti di didattica della matematica del momento. [VEDI l’indice]