Problemi antichi

Fare didattica con problemi antichi. Riflessioni sull’articolo “Un problema trappola”.

Motivo ricorrente nei dibattiti in ambito didattico è il duplice aspetto della matematica: concretezza vs astrazione, applicazioni pratiche vs  teoria e formalismo, spesso col rischio di cadere in poco opportune enfatizzazioni dell’uno o dell’altro aspetto.

Vale la pena ricordare, invece, che all’educazione matematica concorrono entrambe le componenti e che non vanno  trascurati, altresì,  l’aspetto storico e l’aspetto ludico.

L’articolo di Matmedia “Un problema trappola” propone la lettura e la soluzione di un problema del matematico  Édouard Lucas  (1842-1891), noto, tra l’altro, per i suoi studi sulla successione di Fibonacci e per il suo trattato “Ricreazioni matematiche”. Il quesito era stato pubblicato e risolto da Luigi  Campedelli in un numero del Periodico delle Matematiche del 1926.

A. Due mercanti di vino entrano a Parigi , uno con 64 barili e l’altro con 20 barili dello stesso prezzo. Ma siccome non hanno denari abbastanza per pagare il dazio, il primo paga con 5 barili ed aggiunge 40 franchi, l’altro con due barili e gli vengono resi 40 franchi. Quali sono i prezzi dei barili e del diritto di entrata di ciascuno di essi?

Il problema, contestualizzato in una situazione di vita vissuta,  desta nel lettore una certa curiosità e richiede attenzione nell’approccio risolutivo. Può essere, eventualmente, affrontato  dal punto di vista storico , anche nella prospettiva di un adattamento alla realtà odierna.

In verità,  il quesito di  Lucas sembra essere esso stesso  l’adattamento di alcuni problemi del Liber Abaci di Fibonacci,  con i quali sarà interessante fare un confronto riguardo tre aspetti fondamentali della didattica per problemi:

1. L’enorme patrimonio tramandato nei secoli, cui attingere materiali da rinnovare e proporre agli allievi o ai quali, comunque, ispirarsi.
2. La modellizzazione e la formalizzazione di situazioni reali nel loro contesto storico.
3. Il legame con la Matematica ricreativa, che ha sempre accompagnato i progressi in campo scientifico o pratico.

I  due problemi seguenti sono tratti dal capitolo XII – parte settima, del Liber Abaci:

B. Due uomini dovevano trasportare a noleggio , su una nave, delle balle di lana , tutte dello stesso valore. Il primo  portava 13 balle e il secondo 17. Poiché non avevano il denaro  per pagare il prezzo di trasporto, proposero al padrone della nave  di prendere, da ciascuno dei due, una balla  di lana  a titolo di pagamento e restituire il denaro in eccesso. L’armatore accettò, prese una balla  dal primo uomo e gli restituì  10 soldi, poiché una balla  valeva più del trasporto di tutte e 13. Analogamente  prese una balla  dal secondo uomo e gli restituì 3 soldi. Si chiede quale era il valore di una balla e quanto si doveva pagare  per il trasporto  di ciascuna.

C. Un mercante, che portava 5 pietre preziose a Costantinopoli per venderle, allo stesso prezzo, si accingeva a  passare per tre banchi di vendita . Giunto  al primo  , per amicizia,   gli fu condonata  l’intera tassa doganale e ricevette  una dichiarazione scritta ,  in modo che nella seconda e nella  terza dogana non si pretendesse il dazio su  una pietra;  quando giunse al  secondo punto di vendita , il commerciante-esattore   prese una delle 4 pietre, dandogli il  resto di  100 bisanti. Quando  giunse dal  terzo esattore , questi prese una delle 3 pietre rimaste  e diede come resto 150 bisanti. Si chiede quale era il valore di ciascuna pietra  e quanto si doveva pagare come   tassa doganale (per ciascuna pietra).

Osserviamo che la situazione descritta nei tre problemi  (A, B e C) è sostanzialmente  la stessa: la tassa per il diritto di entrata o per il trasporto di un bene, viene pagata con una parte del bene stesso.

Si tratta di una situazione realistica o di una invenzione didatticamente utile ovvero adatta a questioni di puro intrattenimento?

Nel XIII secolo doveva essere una situazione abbastanza frequente, alla quale Fibonacci dedica molti esempi con lo scopo di aiutare nei calcoli i mercanti, i commercianti e gli esattori. Nella formulazione traspare però una componente narrativa, un modo di simulare un racconto di viaggi e di relazioni, cercando di distrarre il lettore da ripetitive applicazioni pratiche.

Probabilmente era possibile  pagare le spese di trasporto di una merce ,su una nave, senza  pagare in contanti, anzi ricevendo un contributo in danaro in cambio di una parte della merce stessa;  la situazione del problema B appare comunque insolita e la  lettura del testo  suscita una certa  curiosità.

Passiamo ora al terzo problema.

Un  “mercator” diretto a Costantinopoli con 5 pietre preziose si ferma presso tre  “commertia”, dove può vendere la merce e pagare contestualmente il dazio.

Si dà il caso, però , che il primo “commertiarius”  è suo amico e , non solo gli condona l’intera tassa doganale, ma gli rilascia una carta  con cui può evitare di pagare il dazio su una delle pietre , sia alla seconda, sia alla terza dogana.

Un preambolo che attira l’attenzione del lettore per apparire poi  del tutto irrilevante grazie a una nota  che segue  la formulazione del testo.

«Hoc quod dicitur  de primo commertio , non dicitur nisi pro derisu, ut impediantur  rudes; sed de duobus  aliis commertiis, est sicuti de nauclerio, qui erat recepturus  naulum».

L’autore riconosce la ridondanza del testo: l’episodio  della prima dogana, infatti, non è  di alcuna utilità ai fini della soluzione,  formalmente analoga a quella del problema della nave e del noleggio. E’ solo un espediente giocoso “ut impediantur  rudes”, un tranello per gli sprovveduti,  come spesso accade nella tradizione della Matematica ricreativa.

Édouard Lucas, nel problema dei venditori di vino,  sembra proprio riproporre la situazione insolita del problema B, creando però un piccolo tranello iniziale per far riflettere o divertire il lettore, come osservato per il problema C.

Nel testo, infatti,  non è specificato se i barili lasciati all’esattore debbano essere  comunque soggetti al pagamento del diritto di entrata a Parigi o ne debbano essere esenti. La soluzione pubblicata nel Periodico  opta per la seconda eventualità ma non si esclude la possibilità di una diversa interpretazione o di qualche  variante nella formulazione.

Gli appassionati di giochi ed enigmi affermano che  i “ giochi” non invecchiano fin quando è possibile trovare  nuove varianti  adatte alla realtà in cui si vive ma, soprattutto, finché  c’è qualcuno disposto a rivisitarli con curiosità e fantasia.

Lo  stesso si può  affermare per i problemi in cui la matematica è applicata in contesti reali, sia per finalità pratiche o didattiche, sia a scopo di curiosità o divertimento.

Il modello matematico e le soluzioni dei tre problemi