L’ingannévole numero 9

Matmedia 05/01/2023

I numeri decimali periodici di periodo 9 non esistono e la prova del 9 delle quattro operazioni è solo una condizione necessaria.

Prova del 9 delle quattro operazioni

Se si sommano tutte le cifre di un numero naturale e poi si sommano le cifre di questa somma, e si continua con questo procedimento finché rimane una sola cifra, questa cifra finale è detta “radice numerica” del numero originale. La radice numerica è uguale al resto della divisione del numero originale per 9.

Per dimostrarlo, prendiamo un qualsiasi numero naturale N che, per fissare le idee, supponiamo di cinque cifre e scriviamolo come polinomio ordinato secondo le potenze decrescenti di 10, cioè,

$N=acdot 10^{4}+bcdot 10^{3}+ccdot 10^{2}+dcdot 10+e$

che si può trasformare in

a·(9999+1)+b·(999+1)+c·(99+1)+d·(9+1)+e =
= a·9999+a+b·999+b+c·99+c+d·9+d+e =
= (a·1111+b·111+c·11+d)·9 + (a+b+c+d+e)

Quindi il naturale N e la somma S(N)=(a+b+c+d+e) delle sue cifre, divisi per 9, dànno lo stesso resto; secondo la proprietà transitiva anche N e la sua radice numerica ρ(N), divisi per 9, dànno lo stesso resto.

Il numero N e la sua radice numerica ρ(N) si dicono “congrui fra loro, modulo 9” e si scrive

N ≡ ρ(N) (mod. 9)

La cosiddetta “prova del 9” delle quattro operazioni ha fondamento nel teorema:

“Indicati con r₁, r₂, r₃, … resti della divisione per m dei naturali le due somme

N₁+ N₂+ N₃+ …, r₁+r₂+r₃+…

ed i due prodotti

N_1· N_2· N_3· …, r_1·r_2·r_3·…

risultano congrui fra loro, modulo m, o, ciò che è lo stesso, divisi per m, dànno lo stesso resto”.

Se, per esempio, moltiplichiamo A per B per ottenere C, l’operazione può essere controllata, moltiplicando la radice numerica di A per la radice numerica di B e osservando poi se il risultato è congruo alla radice numerica di C; se la moltiplicazione originale è corretta, la congruenza ci sarà: quindi la prova del 9 è una “condizione necessaria”.

Se tale congruenza non ha luogo, “certamente l’operazione è errata”; ma quando l’indicata congruenza abbia luogo, “l’operazione può tuttavia essere errata”: la prova del 9 è una “condizione necessaria”.

Se tale congruenza non ha luogo, “certamente l’operazione è errata”; ma quando l’indicata congruenza abbia luogo, “l’operazione può tuttavia essere errata”: la prova del 9 “non” è perciò una “condizione sufficiente”. Prove analoghe con l’uso della radice numerica si applicano all’addizione, alla sottrazione e alla divisione.

Per dimostrarlo, prendiamo un qualsiasi numero naturale z e scriviamolo come polinomio ordinato secondo le potenze crescenti di B, cioè

$z=a_{0}+a_{1}B+a_{2}B^{2}+...+a_{k}B^{k}$

Ricordando che il resto della divisione di un polinomio A(x) per il binomio x – α è il numero A(α), avremo come resto della divisione di z per (B-1):

R = z(1) = a₀ + a₁ + a₂ + …+ a_k (somma delle cifre di z)

Detta quindi S(z) tale somma, si scrive che

z ≡ S(z) [mod. B-1)]

Allo stesso modo si calcola il resto della divisione di z per (B+1):

R = z(-1) = a₀ – a₁ + a₂ – …+ (-1)^ka_k

il quale coincide con quello della divisione per (B+1) della differenza tra la somma delle cifre di posto dispari (da destra verso sinistra) e quella delle cifre di posto pari del numero z.

L’uso della prova del 9 è antichissimo.

Essa, di origine forse indiana o greca, è detta da Leonardo Pisano (1170 – 1250) nel “Liber Abaci” “pensa per novenarium” [“vàluta per mezzo del (numero) nove”], ed è dimostrata ed estesa ad altri divisori come 7, 11, 13. Luca Pacioli (1445 – 1517) e Niccolò Tartaglia (1499 – 1557) fanno comunemente, insieme con la prova del 9, anche la prova del 7, la quale è meno incerta ma più malagevole. Non è mai abbastanza ripetuto che nessuna prova è sicura.

Ricordo che il resto della divisione di un numero N per m coincide con quello della divisione per m della somma dei prodotti di ciascuna sua cifra (da destra verso sinistra) per il “coefficiente di divisibilità” per m, di egual ordine della cifra (si chiamano così i minimi resti delle potenze crescenti di 10, a partire da 10°, rispetto al modulo m). I coefficienti di divisibilità per 7 sono: 1; 3; 2; -1; -3; -2 e, a partire dalla settima cifra, si ripetono nello stesso ordine.

Per es.: sia N = 1.831.267; avremo:

N ≡ 7·1 + 6·3 + 2·2 – 1·1 -3·3 – 8·2 + 1·1 = 4

cioè N ≡ 4 (mod. 7); quindi il resto della divisione di N per 7 è uguale a 4.

I coefficienti di divisibilità per 9 sono ovviamente tutti 1 e quelli per 11 alternativamente 1 e -1. I coefficienti di divisibilità per 13 sono : 1; -3; -4; -1; 3; 4 e anch’essi, a partire dalla settima cifra, si ripetono nello stesso ordine.

Inesistenza di numeri decimali periodici di periodo 9

Alcune persone, che pure hanno una certa conoscenza della matematica, sono solite dire che “la probabilità che un dato evento si verifichi è del novantanove virgola nove periodico per cento ”.

Purtroppo prendono un grosso abbaglio, in quanto, “horrible dictu”, i numeri decimali periodici di periodo 9 non esistono!

Un numero decimale non finito può essere periodico oppure no; non può però essere in alcun caso periodico di periodo 9, cioè rappresentato da un allineamento in cui tutte le cifre siano 9 a partire da un certo posto in poi.

Quali conclusioni possiamo trarre da quanto detto finora?

La “morale” è anch’essa una e una sola: non bisogna fidarsi ciecamente del numero 9, perché può essere ingannévole.

Perciò, per fare la prova dell’addizione e della moltiplicazione, sarà meglio sfruttare la proprietà commutativa: per quella della sottrazione e della divisione ci si servirà delle loro operazioni inverse.

Preso poi atto dell’inesistenza di numeri decimali periodici di periodo 9, resta da dire che è opportuno che tutti possiedano almeno le nozioni basilari di calcolo delle probabilità e di statistica. E ciò non solo a causa delle dilaganti manie dei “gratta e vinci” e delle scommesse da una parte e dei sondaggi d’opinione dall’altra, ma anche perché probabilità e statistica sono entrate di prepotenza nella fisica, sia in quella quantistica che in quella classica, la quale ultima era considerata, dopo lo sviluppo della teoria newtoniana, la roccaforte del determinismo.

Consideriamo per esempio uno dei due enunciati fondamentali del secondo principio della termodinamica:

“Il calore non può passare spontaneamente, cioè senza spesa di lavoro, da un corpo a temperatura più bassa a uno a temperatura più alta”. [Postulato di Rudolf Clausius (1822 – 1888)]-

Il secondo principio della termodinamica è fondato sulla statistica, anzi è un principio puramente statistico. Gli eventi si svolgono nella direzione verso la quale è più probabile che si svolgano. Il calore fluisce nella direzione in cui la temperatura diminuisce, perché sarebbe miliardi di miliardi di volte meno probabile che facesse qualcos’altro.

Con immagine pittoresca si può dire che è più probabile che due gatti, passeggiando sulla tastiera di un pianoforte, eseguano perfettamente una sonata di Mozart, dalla prima nota all’ultima, che non, messa una pentola piena d’acqua sul fuoco, si ravvivi la fiamma e geli l’acqua.

Domenico Bruno (Catania 1941). Laureato in Fisica. Già Docente di Matematica e Fisica nei Licei. Dal 1983 Dirigente Superiore per i Servizi Ispettivi del Ministero dell’Istruzione.

Visualizza tutti gli articoli

Continua la lettura su: https://www.matmedia.it/lingannevole-numero-9/ Autore del post: Matmedia Fonte: http://www.matmedia.it

Categorie: Matmedia, Vedi tutti i blog di Didattica

Tags: congruenze, didattica, divisibilità, Enciclopedia Matematica, Insegnamento, Leonardo Pisano, Luca Pacioli, Mozart, Niccolò Tartaglia, numeri, prova del nove, Rudolf Clausius

Matmedia

utente matmedia

L’ingannévole numero 9

I numeri decimali periodici di periodo 9 non esistono e la prova del 9 delle quattro operazioni è solo una condizione necessaria.
Prova del 9 delle quattro operazioni
Se si sommano tutte le cifre di un numero naturale e poi si sommano le cifre di questa somma, e si continua con questo procedimento finché rimane una sola cifra, questa cifra finale è detta “radice numerica” del numero originale. La radice numerica è uguale al resto della divisione del numero originale per 9.
Per dimostrarlo, prendiamo un qualsiasi numero naturale N che, per fissare le idee, supponiamo di cinque cifre e scriviamolo come polinomio ordinato secondo le potenze decrescenti di 10, cioè,

che si può trasformare in
a·(9999+1)+b·(999+1)+c·(99+1)+d·(9+1)+e == a·9999+a+b·999+b+c·99+c+d·9+d+e == (a·1111+b·111+c·11+d)·9 + (a+b+c+d+e)
Quindi il naturale N e la somma S(N)=(a+b+c+d+e) delle sue cifre, divisi per 9, dànno lo stesso resto; secondo la proprietà transitiva anche N e la sua radice numerica ρ(N), divisi per 9, dànno lo stesso resto.
Il numero N e la sua radice numerica ρ(N) si dicono “congrui fra loro, modulo 9” e si scrive
N ≡ ρ(N) (mod. 9)
La cosiddetta “prova del 9” delle quattro operazioni ha fondamento nel teorema:
“Indicati con r1, r2, r3, … resti della divisione per m dei naturali le due somme
N1+ N2+ N3+ …, r1+r2+r3+…
ed i due prodotti
N1· N2· N3· …, r1·r2·r3·…
risultano congrui fra loro, modulo m, o, ciò che è lo stesso, divisi per m, dànno lo stesso resto”.
Se, per esempio, moltiplichiamo A per B per ottenere C, l’operazione può essere controllata, moltiplicando la radice numerica di A per la radice numerica di B e osservando poi se il risultato è congruo alla radice numerica di C; se la moltiplicazione originale è corretta, la congruenza ci sarà: quindi la prova del 9 è una “condizione necessaria”.
Se tale congruenza non ha luogo, “certamente l’operazione è errata”; ma quando l’indicata congruenza abbia luogo, “l’operazione può tuttavia essere errata”: la prova del 9 è una “condizione necessaria”.
Se tale congruenza non ha luogo, “certamente l’operazione è errata”; ma quando l’indicata congruenza abbia luogo, “l’operazione può tuttavia essere errata”: la prova del 9 “non” è perciò una “condizione sufficiente”. Prove analoghe con l’uso della radice numerica si applicano all’addizione, alla sottrazione e alla divisione.

Per dimostrarlo, prendiamo un qualsiasi numero naturale z e scriviamolo come polinomio ordinato secondo le potenze crescenti di B, cioè

Ricordando che il resto della divisione di un polinomio A(x) per il binomio x – α è il numero A(α), avremo come resto della divisione di z per (B-1):
R = z(1) = a0 + a1 + a2 + …+ ak (somma delle cifre di z)
Detta quindi S(z) tale somma, si scrive che
z ≡ S(z) [mod. B-1)]
Allo stesso modo si calcola il resto della divisione di z per (B+1):
R = z(-1) = a0 – a1 + a2 – …+ (-1)kak
il quale coincide con quello della divisione per (B+1) della differenza tra la somma delle cifre di posto dispari (da destra verso sinistra) e quella delle cifre di posto pari del numero z.
L’uso della prova del 9 è antichissimo.
Essa, di origine forse indiana o greca, è detta da Leonardo Pisano (1170 – 1250) nel “Liber Abaci” “pensa per novenarium” [“vàluta per mezzo del (numero) nove”], ed è dimostrata ed estesa ad altri divisori come 7, 11, 13. Luca Pacioli (1445 – 1517) e Niccolò Tartaglia (1499 – 1557) fanno comunemente, insieme con la prova del 9, anche la prova del 7, la quale è meno incerta ma più malagevole. Non è mai abbastanza ripetuto che nessuna prova è sicura.
Ricordo che il resto della divisione di un numero N per m coincide con quello della divisione per m della somma dei prodotti di ciascuna sua cifra (da destra verso sinistra) per il “coefficiente di divisibilità” per m, di egual ordine della cifra (si chiamano così i minimi resti delle potenze crescenti di 10, a partire da 10°, rispetto al modulo m). I coefficienti di divisibilità per 7 sono: 1; 3; 2; -1; -3; -2 e, a partire dalla settima cifra, si ripetono nello stesso ordine.
Per es.: sia N = 1.831.267; avremo:
N ≡ 7·1 + 6·3 + 2·2 – 1·1 -3·3 – 8·2 + 1·1 = 4
cioè N ≡ 4 (mod. 7); quindi il resto della divisione di N per 7 è uguale a 4.
I coefficienti di divisibilità per 9 sono ovviamente tutti 1 e quelli per 11 alternativamente 1 e -1. I coefficienti di divisibilità per 13 sono : 1; -3; -4; -1; 3; 4 e anch’essi, a partire dalla settima cifra, si ripetono nello stesso ordine.
Inesistenza di numeri decimali periodici di periodo 9
Alcune persone, che pure hanno una certa conoscenza della matematica, sono solite dire che “la probabilità che un dato evento si verifichi è del novantanove virgola nove periodico per cento ”.
Purtroppo prendono un grosso abbaglio, in quanto, “horrible dictu”, i numeri decimali periodici di periodo 9 non esistono!
Un numero decimale non finito può essere periodico oppure no; non può però essere in alcun caso periodico di periodo 9, cioè rappresentato da un allineamento in cui tutte le cifre siano 9 a partire da un certo posto in poi.

Quali conclusioni possiamo trarre da quanto detto finora?
La “morale” è anch’essa una e una sola: non bisogna fidarsi ciecamente del numero 9, perché può essere ingannévole.
Perciò, per fare la prova dell’addizione e della moltiplicazione, sarà meglio sfruttare la proprietà commutativa: per quella della sottrazione e della divisione ci si servirà delle loro operazioni inverse.
Preso poi atto dell’inesistenza di numeri decimali periodici di periodo 9, resta da dire che è opportuno che tutti possiedano almeno le nozioni basilari di calcolo delle probabilità e di statistica. E ciò non solo a causa delle dilaganti manie dei “gratta e vinci” e delle scommesse da una parte e dei sondaggi d’opinione dall’altra, ma anche perché probabilità e statistica sono entrate di prepotenza nella fisica, sia in quella quantistica che in quella classica, la quale ultima era considerata, dopo lo sviluppo della teoria newtoniana, la roccaforte del determinismo.
Consideriamo per esempio uno dei due enunciati fondamentali del secondo principio della termodinamica:
“Il calore non può passare spontaneamente, cioè senza spesa di lavoro, da un corpo a temperatura più bassa a uno a temperatura più alta”. [Postulato di Rudolf Clausius (1822 – 1888)]-
Il secondo principio della termodinamica è fondato sulla statistica, anzi è un principio puramente statistico. Gli eventi si svolgono nella direzione verso la quale è più probabile che si svolgano. Il calore fluisce nella direzione in cui la temperatura diminuisce, perché sarebbe miliardi di miliardi di volte meno probabile che facesse qualcos’altro.
Con immagine pittoresca si può dire che è più probabile che due gatti, passeggiando sulla tastiera di un pianoforte, eseguano perfettamente una sonata di Mozart, dalla prima nota all’ultima, che non, messa una pentola piena d’acqua sul fuoco, si ravvivi la fiamma e geli l’acqua.

Domenico Bruno (Catania 1941). Laureato in Fisica. Già Docente di Matematica e Fisica nei Licei. Dal 1983 Dirigente Superiore per i Servizi Ispettivi del Ministero dell’Istruzione.

Visualizza tutti gli articoli

Matmedia 05/01/2023

Schede di Matematica: Addizioni e Sottrazioni con i numeri decimali

L’insegnamento delle addizioni e sottrazioni con i numeri decimali nella scuola primaria è un aspetto fondamentale per lo sviluppo delle competenze matematiche dei bambini. I numeri decimali sono una parte essenziale della matematica quotidiana, utilizzati in vari contesti come la gestione del denaro, le misure di lunghezza e peso, e la risoluzione di problemi reali. Attraverso l’uso di schede didattiche, gli studenti possono praticare e consolidare queste competenze in modo strutturato e coinvolgente.
Le schede di matematica sulle addizioni e sottrazioni con i numeri decimali sono strumenti efficaci che aiutano gli studenti a comprendere e applicare questi concetti in modo pratico. Queste schede offrono esercizi mirati che rafforzano la comprensione dei numeri decimali e sviluppano le abilità necessarie per risolvere problemi matematici con sicurezza. In questo articolo, esploreremo in dettaglio come utilizzare le schede didattiche per insegnare le addizioni e sottrazioni con i numeri decimali.
A fine articolo potrete scaricare gratuitamente in formato PDF le “Schede di Matematica: Addizioni e Sottrazioni con i numeri decimali, Per la Scuola Primaria“.
Indice

Importanza delle Addizioni e Sottrazioni con i Numeri Decimali
Utilità nella Vita Quotidiana
Le addizioni e sottrazioni con i numeri decimali sono presenti in molte situazioni quotidiane. Ad esempio, quando si gestisce il denaro, è comune dover sommare o sottrarre importi che includono centesimi. Anche in cucina, spesso si misurano ingredienti in quantità decimali. Comprendere come lavorare con i numeri decimali aiuta i bambini a sviluppare competenze pratiche che saranno utili per tutta la vita.
Sviluppo delle Competenze Matematiche
Imparare a fare addizioni e sottrazioni con i numeri decimali è un passo importante per lo sviluppo delle competenze matematiche dei bambini. Questi concetti preparano gli studenti per argomenti più avanzati, come le operazioni con frazioni e percentuali. Inoltre, aiutano a rafforzare la comprensione dei numeri e delle loro proprietà, promuovendo una solida base matematica.
Le Basi dei Numeri Decimali
Che Cosa Sono i Numeri Decimali?
I numeri decimali sono numeri che contengono una virgola, separando la parte intera dalla parte frazionaria. Ad esempio, 3,5 e 4,75 sono numeri decimali. La parte intera rappresenta un valore intero, mentre la parte frazionaria rappresenta una frazione dell’unità. I numeri decimali sono utilizzati per rappresentare quantità che non sono intere, come misure e valori monetari.
Come Funzionano i Numeri Decimali?
I numeri decimali si basano sul sistema di numerazione decimale, che è un sistema posizionale con base 10. Ogni cifra di un numero decimale ha un valore posizionale che è una potenza di 10. La posizione della virgola determina il valore delle cifre a sinistra e a destra della virgola. Ad esempio, nel numero 4,75, la cifra 4 rappresenta le unità, la cifra 7 rappresenta i decimi e la cifra 5 rappresenta i centesimi.
Come Fare le Addizioni con i Numeri Decimali
Passaggi per Fare le Addizioni

Allineare le Virgole: Prima di tutto, è importante allineare le virgole dei numeri da sommare. Questo assicura che le cifre con lo stesso valore posizionale siano allineate correttamente.
Aggiungere Zeri se Necessario: Se i numeri hanno un diverso numero di cifre decimali, aggiungere zeri alla fine del numero con meno cifre decimali per uniformare i numeri.
Sommare le Cifre: Iniziare dalla colonna dei decimali più a destra e procedere verso sinistra, sommare le cifre nella stessa colonna e scrivere il risultato sotto la linea. Se la somma di una colonna è maggiore di 9, scrivere la cifra delle unità e riportare la cifra delle decine alla colonna successiva.
Riportare la Virgola: Assicurarsi che la virgola del risultato sia nella posizione corretta, allineata con le virgole dei numeri originali.

Come Fare le Sottrazioni con i Numeri Decimali
Passaggi per Fare le Sottrazioni

Allineare le Virgole: Come per l’addizione, è importante allineare le virgole dei numeri da sottrarre.
Aggiungere Zeri se Necessario: Se i numeri hanno un diverso numero di cifre decimali, aggiungere zeri alla fine del numero con meno cifre decimali per uniformare i numeri.
Sottrarre le Cifre: Iniziare dalla colonna dei decimali più a destra e procedere verso sinistra, sottrarre le cifre nella stessa colonna. Se la cifra del minuendo è inferiore alla cifra del sottraendo, prendere in prestito 1 dalla colonna successiva.
Riportare la Virgola: Assicurarsi che la virgola del risultato sia nella posizione corretta, allineata con le virgole dei numeri originali.

Conclusione
Le addizioni e sottrazioni con i numeri decimali sono concetti fondamentali che i bambini della scuola primaria devono comprendere e padroneggiare. Le schede didattiche rappresentano uno strumento efficace per insegnare questi concetti, offrendo esercizi pratici e coinvolgenti che aiutano i bambini a sviluppare una solida comprensione dei numeri decimali. Attraverso l’uso di materiali manipolativi, attività interattive e progetti di gruppo, l’apprendimento delle addizioni e sottrazioni con i numeri decimali può diventare un’esperienza divertente e gratificante. Con questi strumenti e suggerimenti, gli insegnanti possono aiutare i bambini a sviluppare competenze essenziali per il successo scolastico e personale.

Potete scaricare e stampare gratuitamente in formato PDF le “Schede di Matematica: Addizioni e Sottrazioni con i numeri decimali, Per la Scuola Primaria“, basta cliccare sul pulsante ‘Download‘:

Domande Frequenti su ‘Schede di Matematica: Addizioni e Sottrazioni con i numeri decimali, Per la Scuola Primaria’

Che cosa sono i Numeri decimali?
I numeri decimali sono numeri che contengono una virgola, separando la parte intera dalla parte frazionaria. Ad esempio, 3,5 e 4,75 sono numeri decimali. Essi sono utilizzati per rappresentare quantità che non sono intere, come misure e valori monetari.

Perché è importante imparare le Addizioni e Sottrazioni con i numeri decimali?
Imparare a fare addizioni e sottrazioni con i numeri decimali è importante perché questi concetti sono utilizzati nella vita quotidiana. Ad esempio, calcolare il costo totale della spesa, misurare lunghezze e distanze, e gestire il tempo. Comprendere come lavorare con i numeri decimali aiuta i bambini a sviluppare competenze matematiche fondamentali.

Come si aggiungono i Numeri decimali?
Per aggiungere numeri decimali, è importante allineare le virgole dei numeri. Poi, si procede come in una normale addizione, iniziando dalla colonna dei decimali e continuando verso sinistra. Se necessario, si aggiunge uno zero per avere lo stesso numero di cifre decimali in entrambi i numeri.

Come si sottraggono i Numeri decimali?
Per sottrarre numeri decimali, si segue lo stesso procedimento dell’addizione: si allineano le virgole e si aggiungono zeri se necessario per avere lo stesso numero di cifre decimali. Poi, si procede con la sottrazione partendo dalla colonna dei decimali e continuando verso sinistra.

Quali sono gli errori comuni da evitare quando si lavora con i Numeri decimali?
Gli errori comuni includono non allineare correttamente le virgole, dimenticare di aggiungere zeri per uniformare le cifre decimali, e confondere la posizione della virgola durante i calcoli. È importante insegnare ai bambini a controllare attentamente l’allineamento dei numeri e la posizione della virgola.

Quali sono i vantaggi delle Schede Didattiche per insegnare le Addizioni e Sottrazioni con i numeri decimali?
Le schede didattiche offrono esercizi strutturati e visivi che aiutano gli studenti a praticare e comprendere i concetti in modo sistematico. Esse rendono l’apprendimento più motivante, facilitando la memorizzazione e la comprensione attraverso esercizi guidati e ripetuti.

Come posso valutare la comprensione delle Addizioni e Sottrazioni con i numeri decimali da parte dei miei studenti?
Per valutare la comprensione, puoi utilizzare quiz e test scritti, osservazioni in classe, esercizi pratici su schede didattiche e attività di gruppo. Chiedere agli studenti di spiegare i passaggi che hanno seguito per risolvere i problemi può anche aiutarti a valutare la loro comprensione.

Clicca per votare questo articolo!Maestra di Sostegno – Scuola Primaria

SostegnO 2.0 19/07/2024

I numeri decimali periodici di periodo 9 non esistono e la prova del 9 delle quattro operazioni è solo una condizione necessaria.

Prova del 9 delle quattro operazioni

Per dimostrarlo, prendiamo un qualsiasi numero naturale z e scriviamolo come polinomio ordinato secondo le potenze crescenti di B, cioè

L’uso della prova del 9 è antichissimo.

Inesistenza di numeri decimali periodici di periodo 9

Quali conclusioni possiamo trarre da quanto detto finora?

Consideriamo per esempio uno dei due enunciati fondamentali del secondo principio della termodinamica:

Articoli Correlati