L’ingannévole numero 9

I numeri decimali periodici di periodo 9 non esistono e la prova del 9 delle quattro operazioni è solo una condizione necessaria.

Prova del 9 delle quattro operazioni

Se si sommano tutte le cifre di un numero naturale e poi si sommano le cifre di questa somma, e si continua con questo procedimento finché rimane una sola cifra, questa cifra finale è detta “radice numerica” del numero originale. La radice numerica è uguale al resto della divisione del numero originale per 9.

Per dimostrarlo, prendiamo un qualsiasi numero naturale N che, per fissare le idee, supponiamo di cinque cifre e scriviamolo come polinomio ordinato secondo le potenze decrescenti di 10, cioè,

che si può trasformare in

a·(9999+1)+b·(999+1)+c·(99+1)+d·(9+1)+e =
= a·9999+a+b·999+b+c·99+c+d·9+d+e =
= (a·1111+b·111+c·11+d)·9 + (a+b+c+d+e)

Quindi il naturale N e la somma S(N)=(a+b+c+d+e)  delle sue cifre, divisi per 9, dànno lo stesso resto; secondo la proprietà transitiva anche N e la sua radice numerica ρ(N), divisi per 9, dànno lo stesso resto.

Il numero N e la sua radice numerica ρ(N) si dicono “congrui fra loro, modulo 9” e si scrive

N ≡ ρ(N)     (mod. 9)

La cosiddetta “prova del 9” delle quattro operazioni ha fondamento nel teorema:

“Indicati con r₁, r₂, r₃, … resti della divisione per m dei naturali le due somme

N₁+ N₂+ N₃+ …,      r₁+r₂+r₃+…

ed i due prodotti

N_1· N_2· N_3· …,      r_1·r_2·r_3·…

risultano congrui fra loro, modulo m, o, ciò che è lo stesso, divisi per m, dànno lo stesso resto”.

Se, per esempio, moltiplichiamo A per B per ottenere C, l’operazione può essere controllata, moltiplicando la radice numerica di A per la radice numerica di B e osservando poi se il risultato è congruo alla radice numerica di C; se la moltiplicazione originale è corretta, la congruenza ci sarà: quindi la prova del 9 è una “condizione necessaria”.

Se tale congruenza non ha luogo, “certamente l’operazione è errata”; ma quando l’indicata congruenza abbia luogo, “l’operazione può tuttavia essere errata”: la prova del 9 è una “condizione necessaria”.

Se tale congruenza non ha luogo, “certamente l’operazione è errata”; ma quando l’indicata congruenza abbia luogo, “l’operazione può tuttavia essere errata”: la prova del 9 “non” è perciò una “condizione sufficiente”. Prove analoghe con l’uso della radice numerica si applicano all’addizione, alla sottrazione e alla divisione.

Per dimostrarlo, prendiamo un qualsiasi numero naturale z e scriviamolo come polinomio ordinato secondo le potenze crescenti di B, cioè

Ricordando che il resto della divisione di un polinomio A(x) per il binomio  x – α è il numero A(α), avremo come resto della divisione di z per (B-1):

R = z(1) = a₀ + a₁ + a₂ + …+ a_k  (somma delle cifre di z)

Detta quindi S(z) tale somma, si scrive che

z ≡ S(z)    [mod. B-1)]

Allo stesso modo si calcola il resto della divisione di z per (B+1):

R = z(-1) = a₀ – a₁ + a₂ – …+ (-1)^ka_k

il quale coincide con quello della divisione per (B+1) della differenza tra la somma delle cifre di posto dispari (da destra verso sinistra) e quella delle cifre di posto pari del numero z.

L’uso della prova del 9 è antichissimo.

Essa, di origine forse indiana o greca, è detta da Leonardo Pisano (1170 – 1250) nel “Liber Abaci” “pensa per novenarium” [“vàluta per mezzo del (numero) nove”], ed è dimostrata ed estesa ad altri divisori come 7, 11, 13. Luca Pacioli (1445 – 1517) e Niccolò Tartaglia (1499 – 1557) fanno comunemente, insieme con la prova del 9, anche la prova del 7, la quale è meno incerta ma più malagevole. Non è mai abbastanza ripetuto che nessuna prova è sicura.

Ricordo che il resto della divisione di un numero N per m coincide con quello della divisione per m della somma dei prodotti di ciascuna sua cifra (da destra verso sinistra) per il “coefficiente di divisibilità” per m, di egual ordine della cifra (si chiamano così i minimi resti delle potenze crescenti di 10, a partire da 10°, rispetto al modulo m). I coefficienti di divisibilità per 7 sono: 1; 3; 2; -1; -3; -2 e, a partire dalla settima cifra, si ripetono nello stesso ordine.

Per es.: sia N = 1.831.267; avremo:

N ≡ 7·1 + 6·3 + 2·2 – 1·1 -3·3 – 8·2 + 1·1 = 4

cioè  N ≡ 4 (mod. 7); quindi il resto della divisione di N per 7 è uguale a 4.

I coefficienti di divisibilità per 9 sono ovviamente tutti 1 e quelli per 11 alternativamente 1 e   -1. I coefficienti di divisibilità per 13 sono : 1; -3; -4; -1; 3; 4 e anch’essi, a partire dalla settima cifra, si ripetono nello stesso ordine.

Inesistenza di numeri decimali periodici di periodo 9

Alcune persone, che pure hanno una certa conoscenza della matematica, sono solite dire che “la probabilità che un dato evento si verifichi è del novantanove virgola nove periodico per cento ”.

Purtroppo prendono un grosso abbaglio, in quanto, “horrible dictu”, i numeri decimali periodici di periodo 9 non esistono!

Un numero decimale non finito può essere periodico oppure no; non può però essere in alcun caso periodico di periodo 9, cioè rappresentato da un allineamento in cui tutte le cifre siano 9 a partire da un certo posto in poi.

Quali conclusioni possiamo trarre da quanto detto finora?

La “morale” è anch’essa una e una sola: non bisogna fidarsi ciecamente del numero 9, perché può essere ingannévole.

Perciò, per fare la prova dell’addizione e della moltiplicazione, sarà meglio sfruttare la proprietà commutativa: per quella della sottrazione e della divisione ci si servirà delle loro operazioni inverse.

Preso poi atto dell’inesistenza di numeri decimali periodici di periodo 9, resta da dire che è opportuno che tutti possiedano almeno le nozioni basilari di calcolo delle probabilità e di statistica. E ciò non solo a causa delle dilaganti manie dei “gratta e vinci” e delle scommesse da una parte e dei sondaggi d’opinione dall’altra, ma anche perché probabilità e statistica sono entrate di prepotenza nella fisica, sia in quella quantistica che in quella classica, la quale ultima era considerata, dopo lo sviluppo della teoria newtoniana, la roccaforte del determinismo.

Consideriamo per esempio uno dei due enunciati fondamentali del secondo principio della termodinamica:

“Il calore non può passare spontaneamente, cioè senza spesa di lavoro, da un corpo a temperatura più bassa a uno a temperatura più alta”. [Postulato di Rudolf Clausius (1822 – 1888)]-

Il secondo principio della termodinamica è fondato sulla statistica, anzi è un principio puramente statistico. Gli eventi si svolgono nella direzione verso la quale è più probabile che si svolgano. Il calore fluisce nella direzione in cui la temperatura diminuisce, perché sarebbe miliardi di miliardi di volte meno probabile che facesse qualcos’altro.

Con immagine pittoresca si può dire che è più probabile che due gatti, passeggiando sulla tastiera di un pianoforte, eseguano perfettamente una sonata di Mozart, dalla prima nota all’ultima, che non, messa una pentola piena d’acqua sul fuoco, si ravvivi la fiamma e geli l’acqua.