Esercizi da risolvere in classe
Sperimentare nel mondo dei numeri alla ricerca di regolarità e invarianze. Proposte di esercizi da risolvere in classe.
Periodico di Matematiche 1/2017
In Problemi montessoriani abbiamo presentato alcuni esempi tratti da una ben più vasta collezione di problemi considerata a ragion veduta un autentico patrimonio professionale per ogni docente di matematica della scuola secondaria. Molti di quegli esempi fondano la loro soluzione sulle capacità di saper cogliere regolarità e invarianze; quindi, se trattati, adatti a potenziare e rafforzare tali capacità degli studenti. Tra gli esempi allora proposti ne figura uno che Laurent Schwartz nella sua autobiografia ricorda di aver proposto ad un suo allievo di dieci anni piuttosto bravo. Ecco il problema e la sua soluzione:
Se prendo il numero 2527 e lo elevo alla 513-esima potenza, con quale cifra termina il numero che ottengo?
Il problema è molto facile se si capisce che del numero 2517 conta soltanto l’ultima cifra. Bisogna semplicemente calcolare le potenze successive di 7 e vedere con quale cifra esse terminano: 70=1, 71=7, 72=49 che termina con 9. Le potenze successive di 7 terminano nell’ordine con 1,7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1,…… successione periodica di periodo 4. Bisogna dunque calcolare il resto della divisione di 513 per 4: 513=4×128+1; il resto è 1. La potenza 7513 termina dunque esattamente per 71, ossia per 7.
Ecco ora un altro esercizio analogo.
Questa volta il numero dato è 7100 che per quanto detto prima avrà come ultima cifra 1, che però non è quello che
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