Prodotto di un monomio per un polinomio

Il concetto di Massimo Comune Divisore (M.C.D.) e minimo comune multiplo (m.c.m.) non si applica solo ai numeri interi, ma anche ai polinomi. Questi strumenti sono fondamentali in algebra per semplificare espressioni, risolvere equazioni e manipolare polinomi in modo efficiente.

In questo articolo, esploreremo il significato del M.C.D. e del m.c.m. tra polinomi, il metodo per calcolarli, e alcune applicazioni pratiche. Chiuderemo, inoltre, il capitolo riguardante il concetto dei polinomi. Nonostante sia stato un percorso alquanto lungo, noi di Blogdidattico, siamo felici qualora fossimo riusciti ad aiutarti con il tuo studio. Ti invitiamo, quindi, a condividere quest’articolo sul tuo social preferito, Instagram, Facebook o WhatsApp, in modo da cercar di aiutare più ragazzi possibili che si trovano in difficoltà con una materia così ostica quanto affascinante: la matematica.

Cos’è il Massimo Comune Divisore tra polinomi?

Il Massimo Comune Divisore (M.C.D.) di due o più polinomi è il polinomio di grado massimo che divide esattamente tutti i polinomi considerati. In altre parole, è il più grande polinomio che è un divisore comune di tutti i polinomi dati.

Cos’è il Minimo Comune Multiplo tra polinomi?

Il minimo comune multiplo (m.c.m.) di due o più polinomi è il polinomio di grado minimo che è un multiplo comune di tutti i polinomi considerati. In altre parole, è il più piccolo polinomio che può essere diviso esattamente da ciascuno dei polinomi dati.

Esempio pratico

Per determinare il Massimo Comune Divisore e il minimo comune multiplo fra polinomi bisogna procedere in un ragionamento simili a quello che si effettua per i numeri.

Immaginando di dover analizzare i seguenti polinomi:

P = x5 – x2;

Q = x3 + x2 + x;

R = (x2 + x)2 -1

segui attentamente i prossimi passaggi:

Scomposizione dei polinomi

Polinomio P = x5 – x2

fattorizziamo il polinomio estraendo il massimo comune divisore: P = x2 (x3 – 1);

scomponiamo x3 – 1 utilizzando la formula di cubi a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2): x3 – 1 = (x – 1) (x2 + x + 1);

la scomposizione completa è quindi: P = x2 (x – 1) (x2 + x + 1).

Polinomio Q = x3 + x2 + x

estraiamo il massimo comune divisore: Q = x (x2 + x + 1);

Polinomio R = (x2 + x)2 -1

riconosciamo la forma di una differenza di quadrati a2 – b2 = (a – b) (a + b): R = [(x2 + x) -1][(x2 + x) + 1];

espandiamo ogni fattore: R = (x2 + x – 1)(x2 + x + 1).

Identificazione dei fattori comuniOra che abbiamo scomposto i polinomi, identifichiamo i fattori comuni.

P = x2(x – 1)(x2 + x + 1);

Q = x(x2+ x + 1);

R = (x2 + x – 1)(x2 + x + 1).

Calcolo del Massimo Comune DivisoreIl M.C.D. è dato dai fattori comuni, presi con il minimo esponente:

Fattore comune e quindi il risultato vero e proprio: x2 + x + 1.

Calcolo del minimo comune multiploPer calcolare il m.c.m., prendiamo tutti i fattori distinti presenti nei polinomi, ciascuno con il massimo esponente:

x2 (presente in P);

x – 1 (presente in P);

x2 + x – 1 (presente in R);

x2 + x + 1 (presente in tutti i polinomi).

Il minimo comune multiplo è quindi: x2 * (x – 1) * (x2 + x + 1) * (x2 + x – 1).

Risultati finali

M.C.D. dei polinomi P, Q ed R equivale a x2 + x + 1;

m.c.m. dei polinomi P, Q ed R equivale a x2 * (x – 1) * (x2 + x + 1) * (x2 + x – 1).