La matematica del liceo scientifico: una nuova stagione per lo studio di funzione che si trasforma in una famiglia di funzioni.
Lo “studio di funzione” agli esami di Stato
«Le matematiche possono considerarsi come una insigne collezione di metodi per operare su certe “materie prime” (numeri, funzioni, figure geometriche, ecc.) al fine di risolvere certi problemi, chiarire le conseguenze dì certe premesse , ecc. Quest’operetta concerne, come dice il suo titolo, le principali di tali materie prime: le funzioni……». Da: Francesco Giacomo Tricomi – Prefazione al testo “Le funzioni”(1972).
Il concetto di funzione, legato alla corrispondenza tra gli elementi di due insiemi o alla dipendenza di due variabili, è senza dubbio fondamentale nello sviluppo delle capacità cognitive dell’individuo, dalle prime semplici attività nella scuola dell’infanzia alle competenze matematiche, via via più complesse, che lo studente acquisisce nel suo percorso scolastico.
In particolare, la matematica del liceo scientifico è ancora associata allo “studio di funzione”, ovvero a una serie di procedure applicate a una funzione reale di variabile reale culminante nella costruzione del suo grafico.
Un’analisi attenta degli obiettivi didattici associati allo studio di una funzione, in particolare nelle prove scritte degli esami di Stato, rivela un’interessante evoluzione che contrasta la tendenza all’inerzia nei confronti delle novità e il rischio di mortificare la didattica in una ripetizione di meccanismi stereotipati.
Come è noto, fino al 1968 la prova scritta di matematica agli esami di Stato si articolava generalmente in un problema geometrico da risolvere con l’aiuto dell’algebra o della trigonometria. La presenza di un parametro richiedeva una discussione sul numero delle soluzioni del problema stesso.
L’accertamento delle conoscenze era poi completato nel corso della prova orale.
La riforma del 1969 ad opera del ministro Fiorentino Sullo, che prevedeva solo due prove scritte e un colloquio su altre due discipline, sollecitò l’auspicata revisione dei contenuti delle tracce d’esame e degli obiettivi didattici da accertare, dando spazio agli argomenti di analisi, studiati negli ultimi due anni.
Rileggendo le tracce assegnate nel 1969 e nel 1970, osserviamo che la prima, per una certa continuità, ripropone il problema geometrico al quale però è associata un funzione di cui si chiede l’andamento, in particolare gli intervalli in cui risulta crescente o decrescente. La seconda è invece centrata sul grafico di due funzioni e sui principali concetti di analisi ( applicazione del calcolo integrale al calcolo di aree piane e del calcolo differenziale per determinare la retta tangente a una curva in un suo punto).
Anno scolastico 1968-1969
Anno scolastico 1969-1970
ProblemaLe lunghezze dei lati BC, CA, AB del triangolo ABC sono rispettivamente
2a, s-x, s+x
essendo s e a elementi dati. Si esprimano per mezzo dei dati e di x l’area del triangolo e il raggio R del cerchio ad esso circoscritto.Indi, si studi l’andamento della funzione R2(x) , indicando in particolare gli intervalli nei quali essa è crescente o decrescente.Nota. Si ricordi che la lunghezza del raggio del cerchio circoscritto ad un triangolo è un quarto del rapporto fra il prodotto delle lunghezze dei lati e l’area.
ProblemaVerificare che le due curve piane, grafici cartesiani delle funzioni:y=x3+3×2+3x+1,y=x3-3×2-3x+1hanno due punti in comune.Indicare l’andamento dei predetti grafici cercandone in particolare gli eventuali punti di massimo o minimo relativi. Determinare l’area della regione piana limitata dai due archi dei grafici aventi per estremi i due punti comuni. Considerate poi le tangenti ai due grafici nei punti comuni, calcolare l’area del quadrilatero convesso da esse determinato.
La struttura della prima traccia è la stessa del «vecchio» problema con discussione, al quale si potrebbe ricondurre imponendo la condizione R2(x)=k, con parametro k positivo arbitrario. La richiesta dell’andamento della funzione, peraltro, offre al problema geometrico un orizzonte più ampio.Da notare che nulla è richiesto riguardo ai parametri, a, s e b, ma il risolutore attento e consapevole metterà in evidenza le condizioni che essi devono soddisfare per costruire il triangolo e non far perdere significato al problema geometrico.La seconda traccia, suddivisa in tre punti, dà maggiore rilevanza allo studio delle funzioni. Il grafico delle due curve non è richiesto in modo esplicito ma è evidente la sua utilità per risolvere i punti successivi.
Entrambe le tipologie di formulazione saranno presenti negli anni successivi, quando sarà introdotta nelle tracce di esame l’opzione di scelta da parte del candidato.
La presenza costante dello studio di funzione contribuì, da una parte, a farlo percepire come un traguardo fondamentale, punto di convergenza di tutto il programma di analisi, dall’altra a ingabbiarlo in uno schema fisso di procedure da applicare. Si cominciò a parlare di «trinomite» tornata in auge sotto nuove spoglie, ricordando la sarcastica critica di de Finetti nei confronti della discussione del trinomio di secondo grado.
Negli anni seguenti, allo studio di funzioni vennero associati nuovi argomenti, come i luoghi geometrici o semplici trasformazioni del piano; si cominciò a prendere in considerazione le applicazioni alla fisica.
Tutto questo contribuiva ad arricchire i percorsi didattici, specialmente nei corsi di ordinamento per i quali stentava ad arrivare un aggiornamento dei programmi, ma rendeva le tracce d’esame sempre più complesse e meno prevedibili.
In alternativa al classico “si studi la funzione y = f(x) e se ne disegni il grafico”, molto spesso il punto di partenza era una famiglia di funzioni dipendenti da uno o più parametri, assieme alle condizioni idonee per determinarli.
Le condizioni assegnate erano collegate a questioni di carattere geometrico o algebrico oppure ai concetti di analisi. Spesso richiedevano calcoli laboriosi e la traccia risultava inevitabilmente appesantita.
Un esempio, di cui si riportano solo i primi due punti del testo:
Anno scolastico 1997-1998Sessione ordinaria Corso di ordinamento In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy, sono assegnate le curve di equazione: y = ax3 + 3x + b dove a, b sono parametri reali con a ≠ 0. a) Determinare i valori di a per i quali queste curve hanno un punto di massimo ed uno di minimo relativi e quelli per i quali non ammettono tali punti.b) Calcolare i valori di a e b in modo che la curva corrispondente abbia un massimo relativo uguale a 0 e sechi l’asse x nel punto di ascissa −2√2
Il problema, impegnativo, ma equilibrato dal lato concettuale, presenta invece varie difficoltà nello sviluppo dei calcoli, specialmente nella risoluzione di un’equazione di terzo grado.
Alcuni elementi innovativi
Le nuove esigenze, dettate dalla didattica laboratoriale e dall’attenzione ai collegamenti della matematica con le scienze applicate, imposero una riflessione sulla formulazione delle tracce d’esame, soprattutto in occasione della riforma Berlinguer dell’esame di Stato e della riforma Gelmini del sistema di istruzione.
Nel Problema 1 della sessione ordinaria 2004-PNI è assegnata la curva di equazione che può rappresentare, per opportuni valori dei parametri, la distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria continua, in particolare una distribuzione normale.
Della curva di Gauss si parla anche nel quesito 4 del 2007, sempre per i corsi sperimentali. E’ evidente come la traccia acquisti maggiore coerenza se la ricerca di particolari valori dei parametri ha un ben preciso significato nella definizione della funzione.
Quesito 4 PNI 2007 Si consideri la funzione:Se ne spieghi l’ importanza nelle applicazioni della matematica illustrando il significato di μ, σ, σ2 e come tali parametri ne influenzino il grafico.
Un altro problema innovativo, di cui si è già parlato in un recente articolo di Matmedia. è quello assegnato nel 2011 ai corsi di ordinamento, dove una funzione dipendente da parametri rappresenta l’andamento del profitto di un’azienda e può essere determinata tramite alcuni valori sperimentali riportati in una tabella.
Nella sessione ordinaria PNI del 2013 è stato assegnato lo studio di una curva logistica, modello di crescita di una popolazione.
In accordo con le Indicazioni nazionali che accompagnarono la riforma Gelmini, queste prove hanno contribuito a mettere in evidenza alcuni obiettivi specifici di apprendimento nell’ambito della modellizzazione:
determinare il valore di uno o più parametri affinché l’espressione analitica di una funzione corrisponda ad alcune caratteristiche del modello che deve rappresentare.
riconoscere il significato geometrico o fisico di alcune proprietà delle funzioni (monotonia, concavità o convessità, punti angolosi, estremi relativi o assoluti, asintoti)
La traccia che in un certo senso ribaltò il punto di vista dello “studio di funzione” è senza dubbio il problema assegnato nella sessione ordinaria PNI 2010, di cui si riporta solo la prima parte.
La novità, allora introdotta, ora fa parte dei Quadri di riferimento del 2018 per la prova scritta di matematica“A partire dall’espressione analitica di una funzione, individuare le caratteristiche salienti del suo grafico e viceversa “Da notare, inoltre che per la prima volta compare una figura nel testo di un problema d’esame.
I docenti autori delle tracce d’esame e il Report 2022
È noto il lungo dibattito intorno alla prova scritta di matematica che accompagnò le varie riforme riguardanti la struttura e i contenuti.I docenti, generalmente, hanno dimostrato di rimanere fedeli al sempre valido “studio di funzione “ ma hanno apprezzato alcune novità nella formulazione dei problemi.E’ interessante osservare che, nelle tracce raccolte nel Report 2022 di Matmedia, tra gli approcci, il terzo è risultato vincente.Fra le 65 tracce esaminate, infatti, ben 55 presentano una famiglia di funzioni in almeno uno dei due problemi ( 11 in entrambi). Analisi di funzioni parametriche compaiono, peraltro, anche nei quesiti.
Le motivazioni possono essere molteplici.
Probabilmente è stata scelta, per i problemi, una tipologia di formulazione che potesse consentire più punti tra loro indipendenti senza allontanarsi troppo dall’argomento centrale del testo ( i valori esatti dei parametri sono stati quasi sempre resi noti a titolo di struttura di controllo).
La scelta, inoltre, potrebbe essere stata dettata dall’esigenza di continuità rispetto alle prove integrate di matematica e fisica e agli elaborati interdisciplinari, dove le funzioni sono introdotte per costruire possibili modelli di fenomeni reali.
D’altronde, poiché gli studenti incontrano fasci o famiglie di curve già nello studio di rette e coniche nel piano cartesiano, è plausibile che molti docenti tendano a generalizzarne concetti e procedure nell’ambito dello studio di funzioni con i metodi dell’Analisi.
Nella formulazione del testo possiamo riscontrare due tipologie di “incipit”, di cui si riportano alcuni esempi, tratti dal Report 2022 ( per leggere l’intero testo del problema si può consultare il catalogo delle tracce su Matmedia).
Prima tipologia
In questi tre casi, più che una funzione da studiare, abbiamo un insieme di funzioni: oggetti che possono essere studiati globalmente nelle loro proprietà comuni o individuati tramite una proprietà caratteristica.
Questo aspetto si ricollega allo studio delle proprietà geometriche delle curve a partire dalle loro equazione e alla teoria dei fasci o famiglie di curve.
Le funzioni dei primi due problemi possono essere associate a fasci di curve algebriche e non si esclude un approccio risolutivo con metodi elementari.
Il terzo problema introduce una famiglia di funzioni trascendenti passanti per due punti base e suggerisce la strategia per determinarli
Seconda tipologia (più frequente)
In questi altri tre problemi abbiamo una funzione definita mediante alcuni parametri. Questi possono essere determinati grazie alle informazioni fornite dal testo o dedotte da un grafico (oppure imponendo alcune condizioni affinché sussistano determinate proprietà ).
È evidente l’analogia con la ricerca o lo studio di modelli matematici per la descrizione di un fenomeno fisico o per l’analisi di dati sperimentali.
Confrontando la prima e la terza traccia si osserva che in quest’ultima la medesima funzione è inserita in una situazione di realtà, richiamando i cosiddetti problemi contestualizzati proposti nel 2015, anno in cui andavano a regime le classi del nuovo ordinamento della riforma Gelmini. La formulazione dei suddetti problemi aggiungeva, forse enfatizzandoli, alcuni peculiari obiettivi , quali il passaggio dal linguaggio descrittivo-colloquiale a quello formale e la valorizzazione degli aspetti applicativi delle conoscenze matematiche.
Nel Report 2022 troviamo in tutto 9 problemi contestualizzati , di cui 2 nello stesso liceo. I docenti hanno dimostrato di privilegiare, almeno in sede d’esame, la formulazione classica.
I traguardi fondamentali dell’insegnamento
Confrontando le tracce del 2022 con la traccia del 1970, possiamo notare come gli estensori delle prove, estensori istituzionali nel 1970 e docenti dell’istituto scolastico nel 2022, si siano concentrati sugli obiettivi irrinunciabili e ritenuti maggiormente significativi. Si può dire, del resto, che entrambe le esperienze si riferiscono a situazioni di contingenza. Nel 2022 l’emergenza pandemica ha impedito, in molti licei, il normale percorso didattico. Nel 1970 c’era l’esigenza di rinnovare la struttura e i contenuti delle prove d’esame, in una riforma avviata sull’onda delle agitazioni studentesche e ancora non ben definita. Nello stesso tempo, si teneva conto delle difficoltà che lo studente avrebbe incontrato di fronte a una prova diversa da quelle su cui si era probabilmente esercitato negli anni precedenti e nello stesso tempo troppo impegnativa.
Nel 2022, nelle scuole in cui il disagio è stato meno vincolante, i docenti hanno potuto spaziare maggiormente nella scelta dei contenuti, nel rispetto delle Indicazioni Nazionali e dei Quadri di riferimento, raccogliendo l’eredità delle esperienze precedenti, tra innovazione e tradizione,
Lo “studio di funzione “ risulta essere sempre l’argomento privilegiato e le formulazioni scelte ne rivelano una varietà di aspetti ( geometrici, analitici, applicativi) che possono essere ricondotti alla definizione stessa di funzione.
L’ulteriore passo potrebbe essere una riflessione sugli approcci didattici che allo studente propongono il concetto di funzione in momenti diversi del suo percorso formativo, spesso con varie finalità e con diversi linguaggi e strumenti di rappresentazione .
Al docente spetta sempre il delicato compito di un percorso didattico equilibrato, che faccia risaltare l’unitarietà della conoscenza matematica, dall’introduzione al pensiero strutturale all’utilizzo di leggi e formule, dalla costruzione di modelli a livelli astratti di concettualizzazione.
Laureata in matematica, all’Università “La Sapienza” di Roma . Vincitrice di concorso a cattedra per la classe matematica e fisica, ha insegnato a Roma nel liceo scientifico “Cavour” e ha collaborato con la S.S.I.S del Lazio in qualità di insegnante accogliente per i tirocinanti. In pensione dal 2009, ha partecipato al progetto del MIUR “La prova scritta di Matematica degli esami di Stato nei Licei Scientifici: contenuti e valutazione” . Collabora alle attività di formazione della Mathesis.
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