Un problema per il primo biennio e… oltre. Quanti sono i triangoli, con lati a misure intere, che hanno uguale perimetro e uguale area e non sono congruenti? Due figure piane possono avere lo stesso perimetro e la stessa area e non essere congruenti.
La questione è già stata esaminata in Triangoli con area e perimetro uguali e ora si vuole affrontare con un diverso approccio, più adatto a studenti del primo biennio. Cioè partendo dal seguente problema:
È dato un triangolo i cui lati hanno lunghezze 29, 29 e 40. Si può determinare un altro triangolo isoscele di uguale perimetro 98 e uguale area 420 i cui lati siano ugualmente espressi da numeri interi?
Da x2 – (49 – x)2 = h2 e h· (49 – x) = 420 segue:
2×3 – 245×2 + 9604x – 121249 = 0
L’equazione è di terzo grado e può mettere in imbarazzo gli studenti anche per i coefficienti “fuori consuetudine”. Una sua soluzione è però già nota, è x = 29. La divisione del polinomio a primo membro per x – 29 porta dunque a scriverlo nella forma fattorizzata:
(x – 29)(2×2 – 187x +4181) = 0
Occorre dunque risolvere l’equazione 2×2 – 187x +4181 = 0; quindi:
Le soluzioni sono 113/2 e 37. La prima però non è affatto una soluzione del problema essendo maggiore di 49, il semiperimetro. Di esse dunque solo la seconda si può accettare. Il triangolo isoscele trovato è 37, 37, 24 e ha perimetro 98
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