Il trucco per calcolare rapidamente un integrale definito
La matematica, un mondo prodigioso popolato di artifici, trucchi, magiche trasformazioni. L’esempio di un trucco per calcolare rapidamente un integrale definito.
In Pensieri Discreti, Gian-Carlo Rota ha svelato un “trucco” per calcolare rapidamente l’integrale
Ovvero semplicemente osservando che è uguale a:
e che entrambi hanno somma 2π.
Un trucco ingegnoso, ovviamente, perché evita di dover fare i soliti calcoli. Ricorrere cioè, come solitamente si fa per calcolare l’integrale indefinito, all’integrazione per parti o alle identità trigonometriche. Un metodo quest’ultimo che dal punto di vista didattico sembra avere qualche punto in più. Appare, infatti, più “formativo” della pura e semplice applicazione meccanica della formula d’integrazione per parti consistendo nella trasformazione della funzione integranda in un’altra di cui l’integrale è già noto. Ad esempio, esprimere sen2x o cos2x in funzione di cos2x, cosa possibile tenendo conto delle identità: cos2x=cos2x-sen2x e 1=cos2x+sen2x che sommate e sottratte, membro a membro, consentono di poter scrivere:
e in modo analogo:
C’è da osservare che gli integrali di sen2x e cos2x ricorrono spesso nelle applicazioni. Ad esempio nell’Elettrotecnica. L’ha ricordato Luigi Verolino facendo altresì presente di aver segnalato e spiegato lo stesso “trucco ingegnoso” di Gian-Carlo Rota ai suoi allievi e lettori. La spiegazione di Verolino è in fondo alla pagina che segue, tratta dal suo testo di Elementi di Elettrotecnica per gli ingegneri:
Estratto dal Capitolo 8
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