Congetture, verifiche e dimostrazioni

Didattica della matematica e sperimentalismo. Congetture, verifiche e dimostrazioni. Fermat e Eulero insegnano a fare matematica.

Allenare gli studenti a fare congetture è un’attività alla quale i docenti di matematica prestano sempre più attenzione. Maestro insuperabile in tale abilità fu Pierre de Fermat (1607–1665). Le sue geniali congetture sono ancor oggi il lievito di formidabili sviluppi nella matematica. La più famosa delle congetture, l’equazione xⁿ+yⁿ=zⁿ non ammette radici intere per n>2, è stata risolta da Andrew Wiles solo nel 1994. Congetture che spesso Fermat aveva asserito di aver dimostrato e non sempre era riuscito ad annotarne compiutamente le dimostrazioni, come quella relativa ai numeri della forma $2^{2^{n}}+1$ che la storia ricorda con il suo nome: numeri di Fermat. Accade che:

$2^{2^{0}}+1=3; 2^{2^{1}}+1=5; 2^{2^{2}}+1=17; 2^{2^{3}}+1=257; 2^{2^{4}}+1=65537$

Fermat congetturò che tutti i numeri di tal forma fossero primi.

Così però non è! Anzi, pare che i soli numeri di Fermat ad essere primi siano solamente questi cinque. A sconfessare Fermat, fu Eulero. Trovò che:

$2^{2^{5}}+1 = 641cdot 6700417$

Fermat e Eulero insegnano come fare matematica con metodo sperimentale, congetturando e verificando.

In Matematica in movimento, Gabriele Lolli ricorda però che è Eulero ad essere stato scelto dai moderni sperimentalisti come loro antesignano. Nella sintesi di Lolli lo sperimentalismo è uguale a matematica+calcolatore: è osservare, congetturare, verificare e dimostrare. Una posizione cioè che nel campo dell’insegnamento ha assunto il significato di fare matematica.

A sostegno della loro tesi, gli sperimentalisti esemplificano il modo di lavorare di Eulero.

L’esempio è un’altra delle congetture di Fermat: ogni primo della forma 8n+1 o 8n+3 può essere scritto come a²+2b².

Eulero affronta la questione nel modo più semplice e naturale possibile: calcola e registra in una tabella i risultati di a²+2b², ove a e b sono interi. Nella tabella riporta tutti i numeri n da 1 a 500 e ragionandoci su è condotto a osservare che:

se nella tabella c’è n allora ci dovrà essere anche 2n;
se n è nella tabella anche i suoi divisori primi sono nella tabella;
se vi compaiono n ed m allora anche il loro prodotto vi comparirà.

Ma soprattutto Eulero verifica che la congettura di Fermat sembra proprio vera: se n è primo allora è della forma 8n+1 o 8n+3.

Eulero però non si accontenta va altro. Nella sua verifica prosegue fino a 1000, ma alla fine passa a darne una demonstratio solida. Una dimostrazione rigorosa. Ecco quanto scrive:

«Quamvis autem huiusmodi proprietas per assiduam observationem fuerit animadversa, quae per se menti non parum esse iucundas, tamen, nisi demonstratio solida accrescerit, de eius veritate non satis certi esse possumus; exempla enim non desunt, quibus sola inductio in errorem praecipitaverit. Tum vero ipsa demonstratio non solum omnia dubia tollit, sed etiam naturae numerorum penetralia non mediocriter recludit nostramque numerorum cognitionem continuo magis promovet, a cuis certe doctrinae perfezione adhuc longissime sumus remoti. Verum si cui haec forte non magni momenti esse videantur, quid vix unquam ullum in Mathesi applicata usum habitura putentur, usus, quem inde in ratiocinando adipiscimur, non est contemnendus».

La traduzione, con la collaborazione del docente di latino, del passo euleriano è certamente da consigliare in un liceo. Costituisce peraltro l’occasione per una traduzione non appartenente ai classici della romanità, ma alla matematica del XVIII secolo.

In ogni caso una traduzione la fornisce lo stesso G. Lolli. È la seguente:

Benché tale proprietà sia stata controllata da attente osservazioni, con piena soddisfazione della nostra mente, ciò nonostante non possiamo essere certi della sua verità, se non si aggiunge una salda dimostrazione. C’è un’abbondanza di esempi in cui la sola induzione ha portato ad errori. Perché in effetti la dimostrazione se non elimina ogni dubbio, ma pure illumina i misteri della loro natura e grandemente accresce la nostra conoscenza dei numeri, la cui teoria è ancora lungi dall’essere perfetta. E se non appare di grande importanza negli usi che sono considerati rilevati nella matematica applicata, non si deve sottostimare l’utilità che ne ricaviamo nel ragionamento».

Il passo ridà valore alla dimostrazione. Il suo significato è testimonianza chiara e autorevole che non possiamo essere certi della verità di una congettura, se non con una salda dimostrazione.

NOTA

Per altri esempi sul modo di lavorare di Eulero, si veda qui. In particolare:

Tracce per fare matematica: la somma degli inversi dei quadrati

Ordinanza del 2 giugno 2021 Ulteriori misure urgenti in materia di contenimento e gestione dell’emergenza epidemiologica da COVID-19.

Ordinanza 29 maggio 2021 Ai fini del contenimento della diffusione del virus Sars-Cov-2, le attività economiche e sociali devono svolgersi nel rispetto delle “Linee guida per la ripresa delle attività economiche e sociali”, elaborate dalla Conferenza delle Regioni e delle Provincie autonome, come definitivamente integrate e approvate dal Comitato tecnico scientifico, che costituiscono parte integrante della presente ordinanza

Ordinanza 21 maggio 2021 Protocollo condiviso di aggiornamento delle misure per il contrasto e il contenimento della diffusione del virus SARS-Cov-2/COVID-19 negli ambienti di lavoro.

Ordinanza 21 maggio 2021 Linee guida per la gestione in sicurezza di attivita’ educative non formali e informali, e ricreative, volte al benessere dei minori durante l’emergenza COVID-19.

Ordinanza 21 maggio 2021 Ulteriori misure urgenti in materia di contenimento e gestione dell’emergenza epidemiologica da COVID-19.