Un risultato matematico tra i più belli

Un ragionamento euristico che mostra la plausibilità di uno dei risultati più belli della matematica.

Se a e b sono interi positivi, scelti a caso, la probabilità che MCD (a,b)=1 è 6/π²

Il teorema corrisponde ad uno dei risultati più belli della matematica [Vedi], ed é noto come teorema di Cesàro[1] che lo dimostrò nel 1881. Una dimostrazione rigorosa richiederebbe prima di tutto di specificare bene il significato di “scelti a caso” e proseguire chiamando in causa strumenti non proprio “elementari”. L’intento della presente nota, invece, è di illustrare un ragionamento euristico che riprende una proposta di Donald E. Knuth[2] e mostra pienamente la plausibilità del teorema.

Ovviamente per prima cosa va detto che l’argomentazione seguita muove dall’assumere che una tale probabilità esista per poi verificare che abbia quel valore così sorprendente.

Sia allora p la probabilità che presi a caso due interi positivi u e v essi siano primi fra loro.

Se è vero questo, allora possiamo calcolare anche la probabilità che presi a caso u e v sia MCD (u, v) = d qualsiasi sia l’intero d maggiore o uguale a 1. Il che, ovviamente, capita nel caso in cui u e v siano entrambi multipli di d, ovvero MCD (u/d, v/d)=1. La probabilità che ciò accada è 1/d volte 1/d volte p, cioè p/d².

Ciò significa che, scelti a caso u e v, la probabilità che MCD(u, v) sia 2, 3, 4, …,  è p²/4,  p²/9, p²/16…..

Ora, se sommiamo queste probabilità per tutti i possibili valori di d, otteniamo:

Ma il fattore in parentesi è la somma degli inversi dei quadrati, ovvero la funzione  ζ(2) di Eulero, che ha somma π², che è circa 10, diviso 6, che è il primo dei numeri perfetti. Quindi: 1= pπ²/6 da cui p=6/π²

Il valore approssimato di p è 0,6079271018540226…. ovvero si ha il 60% di possibilità di incontrare in N² coppie di coprimi. Una probabilità molto più grande di quella che, scegliendo a caso, capiti di prendere una coppia con divisore comune un qualunque altro d>1.

In rete, in particolare su Wolfram, si trovano altri interessanti risultati che legano probabilità e numeri primi alla funzione zeta. Ad esempio: Dati tre numeri interi (k,m,n) presi a caso, la probabilità che nessun fattore comune li divida tutti è: [ζ(3)]^-1=0,83190…,,

Note

[1] Ernesto Cesaro (1859 – 1906) “è stato uno dei più geniali matematici italiani dell’ultimo secolo che ha spaziato con sovrana padronanza nei più svariati campi della matematica”[F.G. Tricomi]

[2] Donald E. Knuth, The art of computer programming, vol. 2, 1969, pag. 301

Si veda anche: Tracce per fare matematica: la somma degli inversi dei quadrati