Contributo al dibattito sull’efficacia didattica del ricorso a limitate catene deduttive (LCD) nell’insegnare la matematica. Il percorso da Euclide alla farfalla.
Mi unisco con piacere al dibattito in corso perché coinvolge una questione che trovo centrale nella didattica della matematica. Le limitate catene deduttive possono essere uno strumento poliedrico nella didattica capace di evidenziare il carattere più puro della disciplina, lontano dalla risoluzione di esercizi tutti uguali volti ad allenare solo le abilità di calcolo. Inoltre permette di presentare agli studenti la matematica come una disciplina in evoluzione frutto del contributo di uomini e donne nel corso dei secoli.
Nelle Indicazioni Nazionali riguardanti gli obiettivi specifici di apprendimento per il primo biennio si legge:
“Verrà chiarita l’importanza e il significato dei concetti di postulato, assioma, definizione, teorema, dimostrazione, con particolare riguardo al fatto che, a partire dagli Elementi di Euclide, essi hanno permeato lo sviluppo della matematica occidentale. In coerenza con il modo con cui si è presentato storicamente, l’approccio euclideo non sarà ridotto a una formulazione puramente assiomatica”.
Alla luce di queste premesse proporrei la seguente LCD in una classe seconda liceo scientifico; gli unici prerequisiti sono i teoremi di similitudine e il secondo Teorema di Euclide.
La catena che di seguito andrò ad illustrare vede come primo anello il secondo Teorema di Euclide, poi il Teorema delle corde come sua generalizzazione ed infine il Teorema della farfalla (poco conosciuto in realtà). Il passaggio tra il primo e il secondo anello appare piuttosto naturale, tanto da pensare di poter condurre il dialogo educativo in modo che lo studente possa “riscoprire” il teorema da sé, invertendo l’ordine consueto enunciato→dimostrazione col più istruttivo deduzione→formalizzazione.
Per il passaggio dal secondo anello al terzo invece, che non è così agile, la dimostrazione segue l’enunciato del teorema.
In dettaglio:
Secondo Teorema di Euclide:
In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per lati le proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa.
Si dimostra che l’enunciato è equivalente al seguente:
In un triangolo rettangolo, l’altezza relativa all’ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa
Gli studenti sanno che un triangolo rettangolo è inscrivibile nella semi circonferenza di diametro AB, dunque possiamo tracciare l’intera circonferenza e considerare su di essa il simmetrico C’ del vertice del triangolo C.
Scriviamo il Teorema di Euclide in formule: AH:CH=CH:HB
Che possiamo anche scrivere: AH:CH=C’H:HB
Notiamo che CC’ e AB sono corde della circonferenza e cerchiamo ora di generalizzare questo risultato a due corde qualsiasi.
Consideriamo due corde qualsiasi e aventi, come unica condizione, un punto in comune.
Con semplici considerazioni relative agli angoli, si dimostra che i triangoli APC e PBD sono simili e quindi hanno i lati in proporzione dunque possiamo scrivere: AP:PD=PC:PB
Tale risultato prende il nome di Teorema delle corde.
Possiamo ora proporre agli studenti di aggiungere un elemento in più alla figura e pensare cosa possiamo dedurre ulteriormente.
Consideriamo ora una corda EF, chiamiamo M il suo punto medio e tracciamo due corde AB e CD passanti per M con A e C appartenenti allo stesso arco EF
CTrifolelli
Gli altri interventi
Nodi e catene deduttive per insegnare geometria
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